Theorème de Caratheodory !

[barbu23]

Bonjour :
Est-ce que vous pouvez m'écrire ici la démonstration du théorème de Caratheodory sur l'enveloppe convexe d'un ensemble dans un espace de dimension qui n'est autre que l'ensemble des barycentres à coefficients positifs de moins de points de ...
Ils disent qu'il y a plusieurs itérations à faire, mais je ne sais pas à quel niveau de démonstration on trouve ça ... ! ( ça c'est du pur cours ça, ça n'a rien à avoir avec la pratique ... )
Merci infiniment

[barbu23]

Je cherche la version geometrique et pas algebrique avec ce genre de notations : et le barycentre !

[barbu23]

l'idée, d'après ce qu'on m'a raconté cet après midi , c'est qu'on prend un point quelconque de l'enveloppe convexe ... il s'ecrit comme combinaison linéaire de points ... si on suppose que , alors le système engendré par ces points est affinement lié et on cherche ... on cherche ... jusqu'à trouver que ce point est barycentre de points à coefficients positifs ... en utilisant les itérations ... mais comment, je ne sais pas comment !

[ThSQ]

Google is your friend, wiki is your mother :

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Carath%C3%A9odory_(g%C3%A9om%C3%A9trie)

[Maxmau]

l'idée, d'après ce qu'on m'a raconté cet après midi , c'est qu'on prend un point quelconque de l'enveloppe convexe ... il s'ecrit comme combinaison linéaire de points ... si on suppose que , alors le système engendré par ces points est affinement lié et on cherche ... on cherche ... jusqu'à trouver que ce point est barycentre de points à coefficients positifs ... en utilisant les itérations ... mais comment, je ne sais pas comment !

Soit G dans l’enveloppe convexe de A
D’où : G = 1A1 + 2A2 + ………..+ kAk où i >0 et Ai dans A
Si k (n+1) les (k-1) vecteurs A1A2 , A1A3 , ………., A1Ak sont liés d’où l’on déduit qu’il existe des i non tous nuls de somme nulle tq : iAi = 0 ( rem : iAi désigne le vecteur iMAi qui est indépendant de M à cause de i = 0 )
On écrit alors : G = (;)i – t;)i)Ai
Comme les i ne sont pas tous nuls et de somme nulle, il en existe au moins un positif . On peut alors choisir t tel que l’un des coeff i – t;)i soit nul et les autres positifs ou nuls. G est donc une CAC (CAC = combinaison affine convexe) d’au plus (k-1) points de A
Si k-1 <= (n+1) terminé sinon on recommence

[barbu23]

On écrit alors : G = (;)i – t;)i)Ai

Merci beaucoup pour toutes ces explications là ... mais , un truc que je ne sais pas encore ... comment on arrive au fait que : G = (;)i – t;)i)Ai ( svp, avec un peu plus de detail ) ..
Merci infiniment !!

[barbu23]

Soit G dans l’enveloppe convexe de A
D’où : G = 1A1 + 2A2 + ………..+ kAk où i >0 et Ai dans A
Si k (n+1) les (k-1) vecteurs A1A2 , A1A3 , ………., A1Ak sont liés d’où l’on déduit qu’il existe des i non tous nuls de somme nulle tq : iAi = 0 ( rem : iAi désigne le vecteur iMAi qui est indépendant de M à cause de i = 0 )
On écrit alors : G = (;)i – t;)i)Ai
Comme les i ne sont pas tous nuls et de somme nulle, il en existe au moins un positif . On peut alors choisir t tel que l’un des coeff i – t;)i soit nul et les autres positifs ou nuls. G est donc une CAC (CAC = combinaison affine convexe) d’au plus (k-1) points de A
Si k-1 <= (n+1) terminé sinon on recommence

On additionne G = 1A1 + 2A2 + ………..+ kAk et iAi = 0 et on obtient ce que tu as ecrit "Maxmau", c'est ça ?

[barbu23]

Help please ! Merci !

[Maxmau]

Help please ! Merci !

Un oubli de ma part G est une CAC des Ai donc ;)i = 1 ( mais tu as certainement rectifié)

Ok mais n’oublie pas le t
G = ;)iAi = ;)iAi - t iAi = (;)i – t;)i)Ai (puisque iAi = 0)
Rem l’écriture ;)iAi - t iAi est correcte. C’est un point plus un vecteur (point translaté du point ;)iAi par le vecteur -t iAi ). Si ce genre d’écriture te déroute tu vectorialises en utilisant une origine quelconque :
OG = ;)iOAi = ;)iOAi - t iOAi = (;)i – t;)i)OAi (puisque iOAi = 0)

[legeniedesalpages]

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