Théorème de la bijection

[mehdi-128]

Bonsoir,

J'étudie le théorème de la bijection et je ne comprends pas la logique de la démonstration de mon livre. Avant même d'entrer dans le détail, je ne comprends pas les différents cas posés.

Soit . Il s'agit de montrer que si est injective alors est strictement monotone.

Soit une fonction continue et injective sur .

1/ Considérons avec
Supposons . Démontrons qu'alors :



2/ Soit . Démontrons que si alors la fonction est strictement croissante.
Pour cela supposons qu'il existe avec et

Si , en appliquant ce qui précède à , on obtient que la fonction est strictement décroissante.

Puis dans le cas 2 je ne comprends pas pourquoi on distingue les cas , et

A quoi sert le cas 1 ? C'est quoi le rapport entre les cas 1 et 2 ?

[mehdi-128]

Mon énoncé n'est pas clair ? Vous avez besoin de la démonstration complète ?

[lyceen95]

Je pense qu'à force de poser des questions de niveau collège ou lycée dans la section 'Supérieur', tu as fini par lasser les habitués de ce forum.

[mehdi-128]

Démonstration non exigible de niveau MPSI et la plus difficile du chapitre continuité et vous parlez de niveau collège lycée ? La démonstration de cette unique implication fait 1 page entière et est très technique.

Bon je vais demander de l'aide ailleurs, là vous allez loin.

[Kolis]

Déjà, la négation de "strictement croissante" devrait se traduire par !

As-tu fait la question 1. ?
Si oui, tu dois déjà voir que tu ne peux avoir .
Il te reste donc à examiner les cas ou .

[mehdi-128]

Merci Kolis, je remets la démonstration depuis le début pour plus de clarté. Il y a certains points qui me bloquent.

Considérons

Supposons . Démontrons qu'alors : et
Introduisons la fonction définie sur par . Il s'agit de démontrer que pour vérifiant et que pour vérifiant . La fonction est continue, injective.

Soit tel que . Si , sachant que , le TVI impliquerait que la fonction s'annulerait sur , ce qui du fait que contredit l'injectivité de . Ainsi

Jusque là j'ai tout compris. Ensuite ça se corse.

Soit tel que . Supposons . On a car est injective. Notons
Puisque il existe tel que d'après le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à
Par ailleurs, d'après l'injectivité de , comme car on en déduit que (ceci est mon interprétation)
Le livre donne directement : il existe tel que

Je n'arrive pas à montrer le résultat suivant : on démontre de même qu'il existe tel que

Ce qui contreduit l'injectivité ainsi

[Kolis]

Tu te compliques la vie avec ta fonction .

Soit et on suppose .
Ou bien et il existe
ou bien et il existe
Dans les deux cas on a contradiction de l'injectivité.

[mehdi-128]

Votre méthode a l'air pas mal mais j'essaie de comprendre la démonstration de mon livre.

Comment montrer qu'il existe tel que ? Je n'y arrive pas

[Kolis]

Je pense que ton n'existe que si !
Fais un dessin...

[mehdi-128]

J'ai fait un dessin dans le cas par l'absurde où et avec injective donc décroissante, on voit que mais je ne saurais le démontrer et par ailleurs je ne vois toujours pas comment montrer qu'il existe tel que

[GaBuZoMeu]

tel que existe bien même si . D'apès la définition de , on a . le théorème des valeurs intermédiaires dit donc qu'il existe tel que .

Une question : ne suppose-t-on pas au départ ?

[mehdi-128]

On suppose bien
On part de "Considérons avec "
Merci je viens de comprendre. Je mets la suite.

Soit avec . Démontrons que si alors la fonction est strictement croissante. pour cela, supposons qu'il existe avec et

Supposons . Puisque et on a d'après le point 1 car
Puisque et alors d'après 1, car .
Ainsi : , ce qui est absurde.

Le livre dit : "le même raisonnement montre que est impossible".

Mais comment utiliser le point 1 alors que les inégalités sont en fonction de et pas de ?
En effet, si alors :

[Kolis]

@GaBuZoMeu
Certes tu as trouvé un mais, si tu ne peux l'utiliser pour avoir une contradiction.
Je reste persuadé que dans le cas il faut chercher dans pour avoir une contradiction avec " injective".

@medhi_128
Nous as-tu donné tout l'énoncé de la question 1 ?
Il manque, à mon avis, les démonstrations de .

Ce qui donne le lemme 1. ainsi complété :
et

Avec ces propositions, pour il est facile d'obtenir, lorsqu'on a l'existence de etc..., la relation dans chacun des cas
.
Il suffit d'utiliser la relation 1. (avec le complément proposé) en proposant, pour chaque cas, un triplet convenable.
Je ne vois pas l'intérêt de raisonner par l'absurde en supposant .

Désolé je n'arrive pas à voir mon aperçu ! Je suppose que le bug sera réparé...

[mehdi-128]

La contradiction est qu'on a égaux à avec injective et car strictement supérieur à et strictement inférieur à

J'ai tout donné pour le point 1.

Par contre je ne vois toujours pas comment traiter le cas en utilisant le point 1 car les inégalités dépendent de mais pas de .

[Kolis]

Mais tu n'as pas "en même temps" ! Le premier existe entre lorsque , le deuxième existe entre lorsque .

Pour ce qui est de 1. je t'ai donné (c'est vrai que c'est illisible) les indications nécessaires : il faudra attendre que le bug du forum soit réparé ou te contenter de la description qui suit :
Tu montres, en plus des relations 1) déjà écrites que :
Si strictement inférieur à alors strictement inférieur à .
Si strictement supérieur à alors strictement supérieur à .

La méthode est la même : voir que les négations impliquent la négation de l'injectivité.

[GaBuZoMeu]

Mais tu n'as pas "en même temps" ! Le premier existe entre lorsque , le deuxième existe entre lorsque .

Mais si, tu les as en même temps. Mehdi se noie facilement dans un verre d'eau, pas la peine d'en rajouter.
La situation est la suivante : on a , et . On suppose f(t)\geq f(x[(et donc f(t)> f(x) et on veut arriver à une contradiction. On pose m=\min(f(t),f(y)) et on a bien à la fois \alpha \in {]x,y]} et [\beta \in [t,x[ tels que f(\alpha)=f(\beta)=m : contradiction.

[Kolis]

Franchement ce serait bien plus simple de séparer les deux cas !
Dans l'un on a et dans l'autre et, dans chaque cas on a une contradiction.

[mehdi-128]

Mais tu n'as pas "en même temps" ! Le premier existe entre lorsque , le deuxième existe entre lorsque .

Mais si, tu les as en même temps. Mehdi se noie facilement dans un verre d'eau, pas la peine d'en rajouter.
La situation est la suivante : on a , et . On suppose f(t)\geq f(x[(et donc f(t)> f(x) et on veut arriver à une contradiction. On pose m=\min(f(t),f(y)) et on a bien à la fois \alpha \in {]x,y]} et [\beta \in [t,x[ tels que f(\alpha)=f(\beta)=m : contradiction.

Je suis d'accord avec vous.

[mehdi-128]

@Kolis
Je préfère rester sur la démonstration de mon livre sinon je vais tout mélanger et ne plus rien comprendre. Si j'arrive à la comprendre entièrement c'est déjà un succès.

Je n'arrive pas à montrer que est impossible.

On a et donc d'après 1 :



On a : donc

Mais il n'y a pas de dans les implications, comment faire Je cherche une relation entre et ...

[Kolis]

Je t'ai donné une méthode le 07/09 à 8:19.

Si tu voulais bien essayer tu verrais que tout tombe facilement sans avoir besoin de raisonner par l'absurde.

Si tu préfères LA méthode de TON livre, ne l'ayant pas (il est impossible de deviner avec les quelques extraits que tu nous donnes), je ne peux rien pour toi !