Théorème de Beatty !!

par **leon1789** » 30 Juin 2008, 19:47

lapras a écrit:(...) ici on ne sait pas trop ce que raito suppose : il faut qu'il redonne les hypothèses clairement.

je suis d'accord. :we:

par **raito123** » 30 Juin 2008, 19:48

Là on veut montrer que si S_A et S_B forment une partition de N* alors [k/A] + [k/B] = k , 1/A + 1/b = 1, A et B deux irrationnels ( Tout en sachant que A et B sont deux réels strictement positifs)

par **lapras** » 30 Juin 2008, 19:54

Donc si je lis bien ton message :
Soient

,

irrationels.

,

Hypothèse :

et

forment une partition de N*

Propriété que tu veux démontrer :

pour tout

.
c'est ca ?

par **leon1789** » 30 Juin 2008, 19:55

raito123 a écrit:(...) alors [k/A] + [k/B] = k (...)

aie aie aie... ceci n'est pas vrai car c'est k-1 ... mdr

par **raito123** » 30 Juin 2008, 19:56

Oui :we: !!

par **lapras** » 30 Juin 2008, 20:01

Le théoreme de betty dit que la réciproque de ma propriété est vraie (c'est a dire que si f(n) et g(n) forment une partition de N, alors

)

par **leon1789** » 30 Juin 2008, 20:18

:doh: bon, je reviens à la charge

lapras a écrit:Hypothèse : et forment une partition de N*

Ce n'est pas N mais N* dans les définitions de

et

.

lapras a écrit:Propriété que tu veux démontrer : pour tout .

Ce sera difficile car le bon résultat est

pour tout

...

par **raito123** » 30 Juin 2008, 20:19

On suppose

et

forment une partion de N* :

On considére un entier k et l'ensemble A = {1,...,k} il y a

entiers dans A qui sont dans

de même pour

, et du fait de la partion la propriété que j'ai donner est vrai !!

Dîtes moi svp où c'est faux !!!?

par **leon1789** » 30 Juin 2008, 20:33

raito123 a écrit:Dîtes moi svp où c'est faux !!!?

as-tu au moins essayé avec un tout petit exemple ? (comme celui que je t'ai donné plus haut)

par **raito123** » 30 Juin 2008, 20:38

leon1789 a écrit:as-tu au moins essayé avec un tout petit exemple ? (comme celui que je t'ai donné plus haut)

Ok mais tu peux donner une démonstration de ta propriété ??

par **lapras** » 30 Juin 2008, 20:42

Ton raisonnement est presque juste raito mais en fait il y a un probleme : tu consideres qu'on atteint l'entier k avec f(n) ou g(n) (n est dans A). Or c'est faux (il faut faire la droite des réels sur un schéma). En prenant par exemple

tu comptes le nombre de fois que tu peux placer un nombre de la forme

sur ton segment (segment représentant les nombres 1 , 2 , ... , k) en partant du nombre 1. Mais pour que qu'il existe n dans A tel que

ca veut dire que

(car

n'est pas entier) or c'est impossible car

est un "multiple" de

qui dépasse k donc il n'est pas compté dans

.
Il faut faire un dessin visuellement c'est évident. Donc on a tous les entiers : 1 , 2 , ... , k-1 (d'apres l'hypothese de partition)
donc

par **leon1789** » 30 Juin 2008, 20:55

Ha, les choses s'éclaircissent. :happy2:

Par ailleurs, si

tels que

alors pour tout

, on a

.

En effet,

et

: inégalités strictes partout car k est entier relatif non nul et a,b irrationnels.
On ajoute ces inégalités pour obtenir

, d'où

par choix de

.
Or

est un entier, donc

Il y a une réciproque vraie également : soit

tels que pour une infinité de

, on ait

. Alors

.

Voir l'indication de ThSQ au tout début de la discussion.

par **lapras** » 30 Juin 2008, 21:07

On a pas montré l'implication :

=>

partition de N* mais cette implication est vraie.
Pour la réciproque il faut juste faire un passage a la limite avec l'égalité qu'on vient de démontrer.
:we:

par **leon1789** » 30 Juin 2008, 21:13

lapras a écrit:On n'a pas montré l'implication :
=> partition de N*

exact ! (c'est peut-être ça le point le plus difficile dans cette histoire, non ?)

lapras a écrit:mais cette implication est vraie.

exact !!

lapras a écrit:Pour la réciproque il faut juste faire un passage a la limite avec l'égalité qu'on vient de démontrer.

exact !!!

lapras a écrit: :we:

:zen:

par **lapras** » 30 Juin 2008, 21:18

La réciproque est tres facile a montrer ce ne sont que des inégalités avec des parties entieres et aussi on raisonne par l'absurde. :we:

par **raito123** » 30 Juin 2008, 21:18

Lapras : j'ai pas compris pourquoi le n n'est pas dans A de plus ce n'est pas forcément

.
On peut écrire

avec d dans A

Leon1789 : D'acodac !!

par **lapras** » 30 Juin 2008, 21:21

Raito > relis bien mon message tu as mal compris.
supposons

supposons qu'il existe

tel que :

alors

donc

n'est pas compté parmis les

.

par **raito123** » 30 Juin 2008, 21:25

Yep :++: !!

Sinon pour la reciproque c'est pas trés compliquer ni trés facile ^^

par **leon1789** » 01 Juil 2008, 17:51

lapras a écrit:La réciproque est tres facile a montrer ce ne sont que des inégalités avec des parties entieres et aussi on raisonne par l'absurde. :we:

Là, je coïnce dessus...

par **leon1789** » 01 Juil 2008, 18:13

raito123 a écrit:Non pas vraiment mais on peut toujours poser la question à Samuel Beatty ou à Wikipédia

ok, je vais étudier la démo que tu as référencée. Une démo par l'absurde pour un truc aussi concret, ça va me plaire...

Théorème de Beatty !!

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