Théoreme de Bayes

[guenhwyvarr]

Bonjour et merci de lire cette discussion.

Voici la question :

Les tests utilisés pour diagnostiquer la présence du virus VIH qui cause le SIDA sont souvent imparfaits, et peuvent donner des résultats appelés faux positifs (la personne n’a pas le virus, mais le test le détecte) ou faux négatifs (la personne a le virus, mais le test ne le détecte pas). Dans le cas du VIH, les tests utilisés ont un taux de faux positifs de 0.5% et un taux de faux négatifs de 2%. On suppose que 0.04% des hommes canadiens sont infectés par le VIH.
Trouver la probabilité qu’un homme testé positif pour le VIH soit réellement infecté par le virus.

Voici ma démarche :

T: un test positif
T^c : un test négatif
H: Infecté par le VIH
H^c = le complément de H, soit non infecté.

P(H,T) = P(T|H) * P(H) / P(T)

= P(T|H) * P(H) / ( P(T|H) * P(H) + P(T|H^c) * P(H^c))

= 0.995 * 0.0004 / (0.995*0.0004 + 0.02*0.9996)
= 1.95 %


alors que mon ami penche plutôt vers cette solution :

P(H,T) = ( P(H) - P(T^c|H) * P(H) ) / ( P(H) - P(T^c|H) * P(H) + P(H) - P(T|H^c) * (1- P(H)) )

= (0.0004 - 0.02 * 0.0004) / (0.0004 - 0.02*0.0004 + 0.005 * 0.9996)
= 7.27%

Selon vous, est-ce qu'un de nous deux a raison et si oui pourquoi ?

Merci