Théorème de Bayes

[jean47]

Bonjour,
Dans la revue 'pour la science', il y a un article sur l'inférence de Bayes:
"on constate qu'après avoir observé 4 faces (les 4 premiers lancers de pièce sont tombés sur face), la probabilité la plus vraisemblable de tomber sur un cinquième face est 80%"
Pouvez-vous m'en expliquer le raisonnement?
merci

[Ben314]

Perso, je ne vois qu'une seule explication : le numéro est daté du 1er Avril...

Peut tu donner la référence précise de l'article ?

[ffpower]

Peut etre considerent ils que le fait de tomber 4 fois de suite sur face monte les chances que la piece soit pipée..Je vois pas trop commentils peuvent modéliser ca par contre..Des outilis de stat je suppose..

[Doraki]

Si on a une loi probabiliste a priori pour la loi de la pièce, ça nous donne une nouvelle loi a posteriori pour la loi de la pièce.

Si on te dit "voilà une pièce qui a 90% de chance de donner pile 90% des cas, et 10% de chance de donner face 90% des cas", et que tu observes 4 fois "face", la probabilité que ce soit une pièce qui donne des face augmente par rapport à ce qu'on t'a dit.

Après un nombre suffisant "face" tu peux partir d'une hypothèse totalement déséquilibrée (mais pas du 100% - 0%), partir d'une proba d'avoir une pièce qui donne des "face" absolument abyssale, et quand même finir par déduire que tu as très probablement une pièce du type qui donne "face" 90% des cas.

[nodjim]

Petite expérience avec un dé dont on compte le nombre de pairs et le nombre d'impairs:
200 lancers, 101 pairs, 99 impairs (donc le dé est équilibré)
52 isolés
25 doubles
18 triples
6 quadruplés
4 quintuplés
L'espace occupé par les isolés (52) les doubles (2*25=50) et les triples (3*18=54) est sensiblement le même et ces 3 groupes occupent ensemble en gros les 3/4 du total.
Pour le reste, la proportion des quadruplés par rapport aux (quadruplés + quintuplés) est de 6/(6+4)=3/5. Donc après avoir fait un quadruplé, on a 2/5 chances, en jouant une fois de plus, de faire un quintuplé.
Bon, c'est une tendance, mais ça ne doit pas être très loin de la vérité.

[jean47]

Rebonjour,

Voici la photo numérisée de l'article:

http://cjoint.com/?herDMSffnJ

merci de votre aide

[nodjim]

En fait, pour espérer avoir une suite de n faces consécutives, il me semble qu'il faut procéder à 2^n lancers. La répartition serait alors pour n=10:
10: 1. espace occupé 10*1=10
9 : 1. espace occupé 9*1=9
8 : 2. espace occupé 8*2=16
7: 4. espace occupé 7*4=28
6: 8. espace occupé 6*8=48
5: 16. espace occupé 5*16=80
4: 32. espace occupé 4*32= 128
3: 64. espace occupé 3*64=192
2: 128. espace occupé = 256
1: 256. espace occupé=256.
Total de l'espace occupé=1023
Chaque rang est affecté d'un nombre égal à la somme des nombres situés au dessus de lui. Ce qui aboutirait à ce résultat (étonnant?): 1 chance sur 2, quand on fait une suite de n faces, d'obtenir une suite de n+1 faces.

[nodjim]

Réfléchissons une seconde sur ce 80%: si c'était vrai, cela signifierait qu'il y aurait davantage de suite de 5 faces que de suites de 4 faces! et, par récurrence, davantage de 6 faces que de 5 faces; etc...
Pas possible, cette histoire.

[Doraki]

Rebonjour,

Voici la photo numérisée de l'article:

http://cjoint.com/?herDMSffnJ

merci de votre aide

Oui, on suppose qu'on ne connait pas le comportement de la pièce, mais on se donne une loi de probabilité de la loi de la pièce (totalement arbitraire, malheureusement).
On se dit "je sais pas qui a fabriqué cette pièce donc elle est peut-être pas équitable, je vais donc supposer qu'elle ne l'est pas et que, en fait, que P(pile) = un nombre au hasard selon une loi arbitraire".
En faisant une telle décision, il est vrai que lancer la pièce apporte des informations sur la nature de la pièce (que tu as supposée que tu ne connaissais pas) et permette de se poser la question de "quelle est la loi de la pièce la plus vraisemblable en tenant compte de ce que j'ai vu jusqu'à présent, et de ce que j'ai pris comme loi a priori pour la loi de la pièce".

Si, au contraire, on suppose qu'on sait que la pièce est parfaitement équitable (par exemple si tu fais un exos de probas de terminales), tu n'as donc aucune hésitation sur la nature de la pièce, et alors on sait que quelquesoit ce qu'on voit, le prochain tirage aura 50% de chance de tomber sur pile et 50% de chance de tomber sur face.

[beagle]

Comme je ne connais absolument pas Bayes,
la probabilité que je vous raconte n'importe quoi est très élevée.

Le seul truc plausible pour moi dans cette affaire:
On donne un pièce d'équilibrage inconnu.
Sa probabilité de faire face varie de 0 à 1.
On ne sait pas au départ.
On lance pour la première fois cette pièce
(bon, si Ben l'a déjà lancée, on dira qu'il ne se rappelle plus des tirages)
et bingo, là, surprise!, on fait sur 4 tirages , on fait 4 faces.
mazette, vrai que ne connaissant pas la pièce, c'est tentant de dire, elle est quand mème probablement, peut-ètre déséquilibrée sur face.
Et bien d'après Mr Bayes ou d'après l'article, ou d'après ce que j'en crois imaginer,
ben en relançant un cinquième fois on aurait une proba de face de 0,8.

Possible ce que je raconte?

[beagle]

j'ai peut-ètre répété Doraki, mais comme j'ai du mal à le suivre souvent,
il me semble que Doraki fait encore plus général que moi,
une proba inconnue et des événements non indépendants possibles aussi, c'est cela une loi arbitraire?

Perso, je reste sur une proba inconnue, mais on reste en évènements indépendants à priori, pour un lancer de pièce,
alors que ce que dit Doraki, ou que je lui fais dire est possible aussi avec un autre énoncé,

et pour ceux-ce qui connaissent Bayes,cela s'applique aussi dans ces cas là?

ou je raconte n'importe quoi depuis le début,
auquel cas il est possible de m'arréter,
je peux faire ça sur un autre fil ...

[beagle]

bonsoir Beagle, Bayes est sur loi binomiale donc à priori tirages indépendants.

[beagle]

sympa de me répondre Beagle, comment tu vas?

[beagle]

Je vais bien, je vais bien,
par contre je sais pas comment t'as fait pour péter le fil,
y a plus personne dessus depuis que tu réponds,

tu sais s'il y a un lien possible avec le fait que :
0,84x0,84x0,84x0,84= 0,5
et donc que c'est la zone du 50/50 de Jean-Pierre?

[beagle]

Salut Beagle, j'espère que tu as relu Doraki, il avait tout expliqué effectivement,

pour ton 0,84 puissance 4, effectivement il y a bien un rapport,
puisque Bayes utilise du
C(m,n+m)xp(puissance m)x(1-p)puissance n
avec ici p proba de face,
m nombre de face observé
n nombre de pile observé

donc on est proche ici d'un C(4,4)xp(puissance4x(1-p)puissanceO
ou alors c'est un gros coup de bol.