Théorème d'approximation de Korovkin

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Bonjour à tous!
Je suis actuellement en fin de L2 math/physique.
Etant en grande vacance, je profite de mon temps pour élargir mes connaissances mathématiques, c'est pourquoi je me suis penché sur le théorème d'approximation de Korovkin.
Cependant, voila mon problème:

J'ai regardé la démonstration sur Wipédia.
Je comprend à peu près tout, sauf un petit détail que j'ai mis en majuscule.

Que signifie ici "convergence uniforme par rapport à x", et en quoi le fait d'avoir des coefficients bornée en x l'implique t-elle ? De plus, à quoi sert cette convergence dans la suite de la démonstration? Je vous remercie d'avance!






Soit f une fonction continue sur [a, b]. Montrons que la suite des fonctions Pn(f) converge uniformément vers f sur [a, b]. Fixons un réel ε > 0.

L'application f, continue sur le compact [a, b], est :

uniformément continue (d'après le théorème de Heine). Il existe donc η > 0 tel que
∀x,y∈[a,b](|y−x|<η⇒|f(y)−f(x)|<ε)

bornée (d'après le théorème des bornes). Notons M un majorant de | f |.
Soit x ∈ [a, b]. Pour tout y ∈ [a, b], on a :

si |y - x| < η alors |f(y) - f(x)| < ε ;
si |y - x| ≥ η alors |f(y) - f(x)| ≤ 2M ≤ 2M(y - x)2/η2.
La valeur f(y) est donc toujours comprise entre


gx(y):=f(x)−ε−2M(y−x)2/η2 et dx(y):=f(x)+ε+2M(y−x)2/η2.



Par positivité des opérateurs Pn, on en déduit que Pn(gx)≤Pn(f)≤Pn(dx).




Or gx et dx sont des polynômes du second degré — c'est-à-dire des combinaisons linéaires de f2, f1 et f0 — donc (par hypothèse sur les Pn)



Pn(gx)→gxetPn(dx)→dx,



uniformément sur [a, b]. DE PLUS, PUISQUE LES COEFFICIENTS DE CES DEUX COMBINAISONS LINÉAIRES SONT DES FONCTIONS BORNÉES DE X ∈ [A, B], LA CONVERGENCE EST ÉGALEMENT UNIFORME PAR RAPPORT À X. Il existe donc N tel que pour tout n ≥ N et tous x, y ∈ [a, b] :

|Pn(gx)(y)−gx(y)|≤ε et |Pn(dx)(y)−dx(y)|≤ε,



en particulier : |PN(GX)(X)−(F(X)− ε)|≤ε et |PN(DX)(X)−(F(X)+ε)|≤ε,


d'où finalement : f(x)−2ε≤Pn(gx)(x)≤Pn(f)(x)≤Pn(dx)(x)≤f(x)+2ε.


On a donc bien : ∀ε>0∃N∀n≥N∀x∈[a,b]|Pn(f)(x)−f(x)|≤2ε.

PS: De plus, j'ai lu que l'on pouvait généraliser ce théorème avec celui de Fejer, pourriez vous m'expliquer comment?

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