Tétraèdre orthocentrique

[Elise68]

Bonjour à tous :)

Je revoyais quelques notions à travers certains exercices, et je me suis heurtée à plusieurs problèmes sur un problème concernant un tétraèdre orthocentrique :

Soit ABCD un tétraèdre.
A' est le projeté orthogonal de A sur (BCD)
B' B (ACD)
J'ai montré que les droites (CD) et (BA') sont perpendiculaires.
On note K l'intersection de (CD) et (BA').

Je ne sais pas si ça sert pour la suite, mais j'ai montré que A' est l'orthocentre de BCD.
De même B' est l'orthocentre de ACD.

Mon problème est le suivant :
il faut montrer que K appartient à la droite (AB')
Je ne sais pas comment faire..

Ni comment en déduire que (AA') et (BB') sont sécantes !

Alors je compte sur vous :)
Merci beaucoup !!

[yos]

il faut montrer que K appartient à la droite (AB')

Tu dois montrer que (ça voudra dire que (AK) est une hauteur de ACD).
Pour ça tu montres que (AK) est incluse dans un plan orthogonal à (CD).

Ni comment en déduire que (AA') et (BB') sont sécantes !

Montre que les points A,A',B,B' sont coplanaires.

[Elise68]

Intuitivement , le fait que
(A'K) est orthogonale à (CD) et que
AA'K est perpendiculaire en A'

j'ai envie de dire que du coup, (A'K) appartient au plan orthogonal à (CD) mais je ne sais pas comment justifier ça rigoureusement ..

Sinon, il n'y aurait pas un autre moyen pour le montrer à un niveau lycée.
J'ai vu dans un livre qu'il fallait utiliser le théorème des trois perpendiculaires ..

[yos]

Sinon, il n'y aurait pas un autre moyen pour le montrer à un niveau lycée.
J'ai vu dans un livre qu'il fallait utiliser le théorème des trois perpendiculaires ..

C'est niveau lycée bien sûr. Quant au théorème des trois perpendiculaires, je le contourne (ou le redémontre) par des théorèmes encore plus simple :

1) Si une droite est orthogonale à un plan, elle est orthogonale à toute droite incluse dans ce plan.

2) Si une droite est orthogonale à deux sécantes d'un plan, elle est orthogonale à ce plan.

Pour revenir à ton exo :

donc (premier théorème).
, et (AA'), (BA') sont sécantes, donc (second théorème).
(CD) est donc orthogonale à toute droite incluse dans (BAA') (repremier théorème), en particulier (AK).

[Elise68]

Ok merci :)

Et peux tu me dire si la suite est juste?
on a :
(AB') orthogonale à (CD)
(A'B) "
De plus, ces deux droites se coupent en K.

J'utilise maintenant : Il existe un unique plan contenant un point ( K ) donné et orthogonale à une droite ( (CD) ) donnée.
Soit P ce plan.
Or (AB') et (A'B) passent par K et sont orthogonales à (CD) donc elles appartiennent à ce plan.
On peut alors déduire que (AA') et (BB') sont coplanaires.
Et comme elles sont non parallèles, elles sont sécantes.

Je te remercie de ton aide en tout cas !

[yos]

Un peu compliqué.
Tu as montré que (AB') et (A'B) ont K en commun, donc ces deux droites sont coplanaires, donc les quatre points A,B,A',B' sont coplanaires, donc les deux droites (AA') et (BB') sont coplanaires.
Reste à écarter le parallélisme de ces deux droites.

[Elise68]

Ah ok,tout simplement !
Si elles étaient parallèles, on ne pourrait avoir un tétraèdre.

[Elise68]

Humm j'ai juste encore un petit problème ..
A ce stade, on a juste que les droites sont sécantes deux à deux..
Et on aimerait qu'elles soient toutes sécantes en un même point .
J'ai pensé raisonner par l'absurde, mais je ne vois pas la contradicton..
Si tu pouvais juste encore m'aider pour ça :)
Merci !!

[yos]

Note H le point d'intersection de (AA') et (BB').
Montre que (ça voudra bien dire que (CH)=(CC')).
Pour ça
et donc.
De même tu prouves .

[Elise68]

OK !
Merci beaucoup pour ton aide !!