Bonjour, en rangeant des trucs je suis tombé sur un exercice sur lequel j'avais assez longuement réfléchi sans trouver la réponse : montrer que tout domaine borné du plan peut être séparé en 4 parties d'aire égale par deux droites perpendiculaires.
J'en avais discuté un peu avec ma prof et voici les pistes qu'elle m'avait données :
On montre que pour une direction quelconque, il existe une unique droite de cette direction qui sépare en deux parties d'aire égale. On choisit ensuite une direction appelée à varier et on pose la droite qui coupe en deux selon . On appelle les deux morceaux et .
Les problèmes surviennent après. L'idée était de recouper et , et d'exhiber une fonction continue dont la nullité pour un certain , obtenue par le théorème des valeurs intermédiaires, traduirait l'égalité de l'aire des 4 morceaux. On avait pensé poser deux demi-droites orthogonales à qui coupent respectivement et en deux parties égales, et prendre comme fonction l'écart entre ces deux demi-droites, mais ça n'a pas abouti (ce qui ne veut pas dire que ce n'est pas la bonne méthode...). On peut peut-être aussi prendre la droite qui coupe en deux selon la direction orthogonale à et trouver notre fonction à partir des aires des 4 morceaux...
L'exercice m'a bien l'air d'un "grand classique" du genre donc je me suis dit que l'un de vous devait le connaître. Merci d'avance pour vos réponses