Tétracapillosection ?

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Skullkid
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Tétracapillosection ?

par Skullkid » 08 Déc 2008, 17:56

Bonjour, en rangeant des trucs je suis tombé sur un exercice sur lequel j'avais assez longuement réfléchi sans trouver la réponse : montrer que tout domaine borné du plan peut être séparé en 4 parties d'aire égale par deux droites perpendiculaires.

J'en avais discuté un peu avec ma prof et voici les pistes qu'elle m'avait données :

On montre que pour une direction quelconque, il existe une unique droite de cette direction qui sépare en deux parties d'aire égale. On choisit ensuite une direction appelée à varier et on pose la droite qui coupe en deux selon . On appelle les deux morceaux et .

Les problèmes surviennent après. L'idée était de recouper et , et d'exhiber une fonction continue dont la nullité pour un certain , obtenue par le théorème des valeurs intermédiaires, traduirait l'égalité de l'aire des 4 morceaux. On avait pensé poser deux demi-droites orthogonales à qui coupent respectivement et en deux parties égales, et prendre comme fonction l'écart entre ces deux demi-droites, mais ça n'a pas abouti (ce qui ne veut pas dire que ce n'est pas la bonne méthode...). On peut peut-être aussi prendre la droite qui coupe en deux selon la direction orthogonale à et trouver notre fonction à partir des aires des 4 morceaux...

L'exercice m'a bien l'air d'un "grand classique" du genre donc je me suis dit que l'un de vous devait le connaître. Merci d'avance pour vos réponses :)



Doraki
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par Doraki » 08 Déc 2008, 19:28

J'appelle A l'aire totale de ton domaine.

Si tu prends un angle et que tu regardes les droites
et , elles partagent le domaine en 4 sous domaines d'aires A1,A2,A3 et A4, où A1+A2 = A2+A3 = A3+A4 = A4+A1 = A/2.
On peut réécrire ça en .

Et maintenant il faut dire que x est une fonction continue de R/piZ dans R, telle que .
Donc si x prend une valeur positive quelquepart, elle prend une valeur négative quand tu échanges les deux droites, donc quelquepart entre ces deux angles, il y en a au moins un qui annule x par le théorème des valeurs intermédiaires.

Skullkid
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par Skullkid » 08 Déc 2008, 21:37

Ça a l'air simple comme bonjour comme ça... x)

Merci beaucoup :)

busard_des_roseaux
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par busard_des_roseaux » 09 Déc 2008, 00:40

Skullkid a écrit:tout domaine borné du plan peut être séparé en 4 parties d'aire égale par deux droites perpendiculaires.


est-ce que ça marche si n'est pas quarrable ? (mesurable)

Doraki
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par Doraki » 09 Déc 2008, 00:49

Si le domaine n'est pas mesurable on peut même pas poser le problème...

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