Temps de parcours d'un arc de cercle

[albantor30]

Bonjour !

Voila je travaille sur le problème de la brachistochrone (la recherche du chemin le plus rapide entre deux points A et B pour une bille soumise à la pesanteur (verticale) et sans frottement).

Dans le cadre de ce travail, je suis amené à résoudre une intégrale plutôt ennuyeuse... Il s'agit de I( f(x) ) pour f(x) = sqrt( 2Rx - x^2 ) (voir image)
Elle représente en fait le temps mis par une particule soumise à la pesanteur pour atteindre le point B depuis le point A en glissant sans frottement sur un arc de cercle (ici c'est le cas particulier du quart de cercle).



Quelqu'un aurait il une idée pour la résoudre ou contourner le problème ? Je dois en fait prendre f(x) telle que la fonction décrive un arc de cercle passant par les points A(0,0) et B(a,b) (la tangente au cercle en A doit être verticale).

J'espère que ce n'est pas trop brumeux...
Merci d'avance !

[Pythales]

Si j'ai bien compris :


d'où
et
Le reste sans difficultés
NB. Si mes souvenirs sont (encore) exacts, je crois que la brachistochrone n'est pas un arc de cercle, mais un arc de cycloïde.

[albantor30]

Ok merci beaucoup !

Oui oui tout a fait, la brachistochrone est un arc de cycloïde mais je voulais juste comparer avec un arc de cercle (tout comme avec une droite d'ailleurs)...

[albantor30]

Non non c'est pas ça en fait (mais la feuille n'était pas là donc ce n'était pas clair).

Le truc c'est que je ne cherche pas à intégrer l'arc de cercle mais une fontion de cet arc de cercle :


Voila...

[Pythales]

Le changement de variable conduit à calculer qui est a priori une intégrale elliptique

[serge75]

Sans en être 100% sûr, je crois plutôt que le bratistochrone est plutôt une chaînette.

[albantor30]

D'après mes calculs et ce qu'on voit partout, c'est bien un arc de cycloïde... La chainette décrit l'état de repos d'un fil soumis à un champ de pesanteur je pense.

[serge75]

Après vérification, vous aviez raison, il s'agit bien d'une arche de cycloïde. Mea culpa