Taux de décroissance exponentiel

[Dreamy]

Bonjour,
Mon problème est le suivant:
En fait j'ai un système d'équation différentielles ordinaires que je peux mettre sous la forme: Z'=AZ dont la solution peut se mettre sous la forme:

Et on sait qu'on peut mettre ces solutions en combinaisons linéaires de avec les valeurs propres de A.
Je cherche à maximiser le taux de décroissance, ce qui revient à maximiser:
.

Et en fait, dans mon livre, on prend le polynôme caractéristique de la matrice A, et on affirme que la maximalisation de ce taux est atteinte, lorsque le polynome a deux racines doubles complexes conjuguées...(le polynome est d'ordre4)

Est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer pourquoi??

Merci.

[mathelot]

bjr,

[Dreamy]

Hmm oui mais je ne comprends pas pourquoi il y a maximalisation... =/

[mathelot]

on pourrait avoir une définition du taux de décroissance et aussi de sa maximisation ?

[Dreamy]

Hmm.. Je ne l'ai pas tout à fait mais, en fait, c'est un problème de physique dans lequel on a une tour, et grâce à un amortisseur, on cherche à réduire un max sa réponse, d'où la maximisation du taux de décroissance exponentiel

En effet, ici la réponse c'est : . Et on sait (d'après un théoreme), que cette reponse est la combinaison linéaire des . Comme, on suppose qu'on a un systeme stable (par un certain critère), on sait que la partie réelle de ces est négative.

Donc pour moi ici, le taux de décroissance exponentiel c le minimum de la partie absolue de , qu'on va chercher à maximiser.

Et donc je me demandais pourquoi lorsque les racines du polynome caractéristique (et donc justement les ) sont doubles complexes conjuguées, on sait qu'on obtiendra cette maximisation?

[Dreamy]

En fait, je re-résume ce problème j'ai conscience de super mal expliquer x_x

J'ai un polynome de degré 4, à coeffs tous non nuls.
Mon but est de trouver une condition pour maximiser le minimum de la valeur absolue de la partie réelle de ses racines.
Dans un livre, on m'affirme que lorsque le polynome à deux racines doubles complexes conjuguées, on a cette condition.


Donc comment montrer que si j'avais eu genre 2 racines réelles, 2 racines complexes, ou n'importe quelle autre situation, j'aurais eu forcément une racine dont la valeur absolue de la partie réelle était plus petite que celle des racines obtenues dans la situation où j'ai deux racines doubles complexes conjuguées??

Merci d'avance (j'espère avoir au mieux expliquer .. ><)

[Dreamy]

Wow j'aimerais clore ce sujet, pour que qqn ne cherche pas inutilement car en fait j'ai trouvé!!
Merci mathelot pour avoir essayé de comprendre ce que je voulais dire xD
(sinon pour l'info, j'ai cherché sur internet comment trouver les solutions dun polynome de degré 4, et finalement en regardant bien, on voit bien que c 'est évident!!)