Montrer que l'application
[CENTER]
est
Taf
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Taf
par legeniedesalpages » 20 Juil 2008, 14:52
Bonjour, j'ai du mal à résoudre cet exo:
Montrer que l'application
définie par :
[CENTER] := (\frac{\sin(x+y)}{2},\frac{\cos(x-y)}{2}))
,[/CENTER]
est
-lischitzienne pour une certaine constante 
; lorsque 
est muni de la norme 
. En déduire que 
admet un unique point fixe. Que se serait-il passé si on avait choisi la norme 
ou la norme 
?
Montrer que l'application
[CENTER]
est
par barbu23 » 20 Juil 2008, 18:23
Bonjour "romu" : :smoke2: :lol2:
est differentiable sur tout ouvert 
( convexe, pour que ça marche ... ! 
est convexe ... ( Dans c'est trivial ... pas besoin de parler convexité, ou non convexité ... ! ) dans 
aussi ... alors :  - f(y)|| \leq ( \displaystyle \sup_{u \in [x,y] \in \mathbb{R^{2}}} ||df(u) || \quad ) \quad ||x-y|| $)
avec : || $)
et non pas en dehors de 
... ( Ici, la relation d'ordre dans 
est induite de la norme : 
... )
Alors, il te reste à montrer que :
... la 
lipshcitciennité est l'equivalent du theorème des accroissements finis ... !
Ben, c'est comme ça qu'on fait por obtenir la lipsctiziennité pour les espaces de Banach ... !
Remarque aussi, qu'il y'a un point fixe qui t'attend à la fin ce "Taf" que tu fais, parceque
... :fan: Le point fixe sert à quoi ... ?
Cordialement ... !
avec :
Alors, il te reste à montrer que :
Ben, c'est comme ça qu'on fait por obtenir la
Remarque aussi, qu'il y'a un point fixe qui t'attend à la fin ce "Taf" que tu fais, parceque
Cordialement ... !
par legeniedesalpages » 20 Juil 2008, 18:33
barbu23 a écrit:Alors, il te reste à montrer que :
Ben, c'est comme ça qu'on fait por obtenir la
Remarque aussi, qu'il y'a un point fixe qui t'attend à la fin ce "Taf" que tu fais, parceque
Cordialement ... !
Salut pablo,
mais justement pour déterminer ce
:hein:
Sinon le point fixe, je ne vois pas bien à quoi il sert mais pour montrer son existence et son unicité, il suffit de faire appel au théorème du point fixe de Picard.
[edit:]ah oui sinon, peut être pour montrer que l'équation
par barbu23 » 20 Juil 2008, 18:42
Pas "montrer" mais "trouver" ... je dis n'importe quoi ... !
Ben, tu as presque fini ...
On a toujours ça dans des espaces de Banach ( et donc, aussi : dans
) :
||_{1} = |x|+|y| $)
||_{2} = \sqrt{x^{2}+y^{2}} $)
.
.
.
||_{k} = (x^{k}+y^{k})^{\frac{1}{k}} $)
.
.
.
||_{\infty} = \sup (x,y) $)
Ce sont les normes canoniques de ces espaces ... dès qu'on veut calculer quelques choses sur ces espaces là ... on les fait au moyen de ses normes ... une de ses normes parcequ'elles sont toutes equivalentes ( la plus simple est celle du rang
qui est en rapport avec le produit scalaire convenable à tout espace de Banach ... )
Cordialement ... !
Ben, tu as presque fini ...
On a toujours ça dans des espaces de Banach ( et donc, aussi : dans
.
.
.
.
.
.
Ce sont les normes canoniques de ces espaces ... dès qu'on veut calculer quelques choses sur ces espaces là ... on les fait au moyen de ses normes ... une de ses normes parcequ'elles sont toutes equivalentes ( la plus simple est celle du rang
Cordialement ... !
par barbu23 » 20 Juil 2008, 18:48
legeniedesalpages a écrit:
[edit:]ah oui sinon, peut être pour montrer que l'équationadmet une unique solution.
Oui, voilà .. ! :marteau: :lol5:
par legeniedesalpages » 20 Juil 2008, 19:43
oui pablo, mais comment tu procèdes pour montrer que pour tout \in \mathbb{R}^2)
||| = ||\(\cos(x+y),\sin(y-x)\)||_2\leq k < 1)
?
par legeniedesalpages » 20 Juil 2008, 19:46
barbu23 a écrit:( la plus simple est celle du rang
Cordialement ... !
il mes semble que non, on prend
par barbu23 » 20 Juil 2008, 20:02
Un Banach de dimension finie :look_up: :lol2:
Pour l'autre question :
Il faut developper ce qu'il y'a à l'interieur de
dans : )^{2} + (\sin(x-y))^{2}} $)
...
developper directement $)
et  $)
: ça va donner une expression non simplifiable parceque : et ne sont pas compatibles après developpement ...
C'est pourquoi je prefere reecrire la formule comme ça :)^{2} + (\sin(x-y))^{2}} = \sqrt{1-(\sin(x+y))^{2} + (\sin(x-y)^{2}} $)
... et comme ça et  $)
sont compatibles quant on veut simplifier leur developpement ... !
Cordialement ... !
Pour l'autre question :
Il faut developper ce qu'il y'a à l'interieur de
developper directement
C'est pourquoi je prefere reecrire la formule comme ça :
Cordialement ... !
par legeniedesalpages » 20 Juil 2008, 23:37
ok, j'ai essayé en simplifiant mais je ne trouve rien de mieux:
 = [\sin(x)\cos(y) - \cos(x)\sin(y)]^2)
 = [\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)]^2)
 - \sin^2(x+y) = 1-4\sin(x)\cos(y)\cos(x)\sin(y) = 1-2\sin(x)\cos(x) \times 2\sin(y)\cos(y) = 1-\sin(2x)\sin(2y))
C'est bizarre d'ailleurs, du coup en)
on aurait ||| = 1)
.
Je vérifie mes calculs.
C'est bizarre d'ailleurs, du coup en
Je vérifie mes calculs.
par legeniedesalpages » 21 Juil 2008, 00:41
Je ne comprends pas, on a:
[CENTER] := (\underbrace{ \frac{\sin(x+y)}{2}}_{f_1(x,y)},\underbrace{ \frac{\cos(x-y)}{2}}_{f_2(x,y)} ))
,[/CENTER]
est différentiable sur 
car 
le sont.
On a
=\frac{\partial f_1}{\partial y}(x,y)=\frac{\cos(x+y)}{2})
et
=\frac{\partial f_2}{\partial y}(x,y)=-\frac{\sin(x-y)}{2})
.
Par conséquent pour tout\in \mathbb{R}^2)
on a
.h = \frac{\cos(x+y)}{2}h_1 + \frac{cos(x+y)}{2}h_2 = \frac{cos(x+y)}{2} (h_1+h_2))
 = -\frac{\sin(x-y)}{2} (h_1+h_2))
,
et donc:
.(h_1,h_2) = \frac{h_1+h_2}{2} \(\cos(x+y),-\sin(y-x)\))
.
D'autre part on a
||| =\ \sup_{h:\ ||h||_2 = 1}\ ||df(x,y).h||_2=\ \sup_{h:\ ||h||_2 = 1}\ |h_1+h_2|\ \frac{1}{2} ||\(\cos(x+y),-\sin(y-x)\)||_2\\ = \frac{1}{2} ||\(\cos(x+y),-\sin(y-x)\)||_2\ \underbrace{\sup_{h:\ ||h||_2 = 1}\ |h_1+h_2| }_2 = ||\(\cos(x+y),\sin(y-x)\)||_2)
.
En particulier||| = ||(1,0)||_2 = 1)
,
donc on ne peut montrer l'existence d'un
tel que |||\leq k)
. :hein:
Il faudrait procéder autrement ? :briques:
[CENTER]
On a
et
Par conséquent pour tout
et donc:
D'autre part on a
En particulier
donc on ne peut montrer l'existence d'un
Il faudrait procéder autrement ? :briques:
par barbu23 » 21 Juil 2008, 07:12
Mais, toi tu veux montrer que ton application est contractante et non pas calculer la differentielle en 
non ?
par legeniedesalpages » 21 Juil 2008, 08:50
barbu23 a écrit:Mais, toi tu veux montrer que ton application est contractante et non pas calculer la differentielle en
oui bien sûr, mais je pensais tout de même trouver ce
par barbu23 » 21 Juil 2008, 13:38
legeniedesalpages a écrit:ok, j'ai essayé en simplifiant mais je ne trouve rien de mieux:
C'est bizarre d'ailleurs, du coup en
Je vérifie mes calculs.
Et ben, il semble qu'elle est
Je sais pas où est le problème ... ! :doh:
par barbu23 » 21 Juil 2008, 13:46
je pense que l'erreur reside dans la definition de la norme de 
qui est egale à deux expression : la première est exprimé quant 
et la seconde quant 
... et donc, il faut pas prendre  $)
parceque : ...
Et comme ça , tu montres que même si :
mais, il n'existe pas de 
( car : 
est la borne superieure et 
est lineaire continue ... donc, il n'ya pas de ... mais elle est quant même contractante ... et on peut donc lui appliquer le theorème du point fixe pour trouver comme tu dit une solution à l'equation que tu as ecrit plus haut ... !
Cordialement ... !
Et comme ça , tu montres que même si :
Cordialement ... !
par legeniedesalpages » 21 Juil 2008, 19:01
barbu23 a écrit:Et ben, il semble qu'elle estlipshitzienne : :dingue: :dingue2: :lol2:
Je sais pas où est le problème ... ! :doh:
on veut montrer que
j'ai du faire une erreur dans le calcul de la différentielle, je vais regarder ça plus en détail.
Merci ne tout cas pour ton aide.
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