Systèmes différentiels

par **Tqup3** » 28 Mai 2006, 21:54

Voilà je usis en train de réviser les systèmes différentiels et je me demande comment on peut en résoudre un si la matrice A que l'on pose au départ n'est pas diagonalisable...
S'il y a un moyen de le résoudre, quelqu'un pourrait-il m'indiquer clairement la méthode ?

Merci d'avance

par **Zebulon** » 29 Mai 2006, 05:09

Bonjour Tqup!

A peut ne pas être diagonalisable, elle est toujours trigonalisable. Il existe donc P inversible et T triangulaire supérieure telles que

. On reprend le même calcul que lorsque A est diagonalisable mais en remplaçant D par T, ce qui donne :

où

On résout le système en partant de la dernière équation.

A bientôt!

par **Tqup3** » 29 Mai 2006, 14:59

Ah ouais je n'y avait pas pensé à la trigonaliser, c'est vrai qu'une fois le prof l'a fait il me semble mais je ne me rappelle plus de la méthode (je confonds où ca a un rapport avec la jordanisation ?)

Merci de m'éclairer, les matrices sont ma bête noire ^^
ps: Google ne me donne pas de résultat convainquant...

Amicalement,
Tqup3

par **Tqup3** » 30 Mai 2006, 22:56

Bonjou,
J'ai une autre question, lorsque A n'est pas diagonalisable.
Pour trouver la matrice P, il nous manque un vecteur et j'ai pas compris comment on faisait pour trouver le troisième.

Merci de votre aide,
Tqup3

par **Zebulon** » 31 Mai 2006, 09:32

Allez, je me lance pour recopier un exemple de mon bouquin (en espérant qu'on n'ait pas le même!).

Résoudre

d'inconnues x, y et z.

Notons

. On calcule le polynôme caractéristique

de A, et on obtient

donc les valeurs propres de A sont -2 (simple) et 4 (double). On calcule les sous-espaces propres. Le sous-espace propre associé à -4 est de dimension 1, engendré par

. Le sous-espace propre associé à -2 est engendré par

. Donc A n'est pas diagonalisable.

Déterminons un vecteur

et un réel

tels que :

.

donc on peut choisir

et

.

Ainsi

avec

et

.

En notant

et

, on a :

.

On résout en commençant par la dernière ligne :

,

, et

avec A, B et C appartenant à

.

Puis X=PY d'où :

Compris?

par **Tqup3** » 31 Mai 2006, 15:43

Merci zébulon d'avoir pris un peu de temps pour m'expliquer, j'ai compris mais il y a un truc que je comprends pas tout de même : la mtrice T est composée dans sa diagonale des valeurs propres de A mais je ne comprends pas d'où sort le 2 en première ligne seconde colonne.

Merci pour toute l'aide que vous m'apportez et pardon pour mon ignorance :)

par **Zebulon** » 31 Mai 2006, 16:40

C'est parce qu'on a

et

.

Systèmes différentiels

Systèmes différentiels

Qui est en ligne