Système

par **misslolipops** » 11 Mai 2010, 22:43

Bonsoir je dois résoudre ce système et n'ayant pas suivant l'option maths l'an dernier, j'ai énormément de difficultés

Xn+1 = 5Xn
Yn+1 = 5Xn+5Yn
Zn+1 = -5Xn+3Yn+5Zn

Merci pour votre aide.

par **Ericovitchi** » 12 Mai 2010, 09:44

donc matriciellement

et il faut que tu élèves la matrice à la puissance n. C'est une matrice triangulaire donc il y a des astuces autres que de la diagonaliser. Quoique. je te laisse chercher un peu.

Peut-être en l'écrivant 5I + Q et en appliquant la formule du binôme

par **misslolipops** » 12 Mai 2010, 13:17

Je trouve par la méthode du pivot (la seule vue en cour) :

an= (5n+1) 5n
bn= 25.5n -1 (5n +1)
cn= 5n 5.5n + 5

Ensuite:
An = An.A^2 + bn.A + cn.I3

par **Ben314** » 12 Mai 2010, 13:30

Je ne sais pas comment tu fait avec "la méthode du pivot" pour trover an, bn et cn, mais il y a des erreurs :
an, bn et cn sont tout les trois de la forme 5^n(polynôme en n)
et, au moins un des trois polynôme contient du n²...

par **misslolipops** » 13 Mai 2010, 18:50

il faut donc que je diagonalise A?

5-lambda 0 0
5 5-lambda 0
-5 3 5-lambda

par **ToToR_2000** » 13 Mai 2010, 19:10

Pas besoin de diagonaliser, d'ailleurs rien ne dit qu'on peut a priori.
Il suffit de calculer

or A est triangulaire donc déjà tu connais la tête de la moitié supérieure + la diagonale. Reste 3 coefficients mais tu devrais pouvoir conjecturer leurs formes si tu calcules les premières puissances de A. Et tu termines par une récurrence.

par **misslolipops** » 13 Mai 2010, 19:26

A^n = 5^n 0 0
5^n 5^n 0
-5^n 3^n 5^n

par **ToToR_2000** » 13 Mai 2010, 19:27

Tu es sûr ?

par **misslolipops** » 13 Mai 2010, 19:33

ah non du tout

par **ToToR_2000** » 13 Mai 2010, 20:21

Et au hasard:

par **misslolipops** » 13 Mai 2010, 21:32

comment trouver la tête de la matrice inférieure? puis une fois An connue que dois-je faire?

par **Ben314** » 13 Mai 2010, 22:39

Tout d'abbord, ta matrice, tu risque pas de la diagonaliser : rien qu'en la regardant, on voit que 5 est la seule valeur propre (triple) et qu'elle est pas diagonalisable...

La méthode "standard" pour ce genre de matrice, c'est celle que t'a donné Ericovitchi : tu écrit que

où

Tu calcule

et

puis tu utilise la formule du bonôme de Newton pour calculer

(tu as le droit du fait que

et

commutent)
Ca te donne en deux lignes le résultat de ToToR_2000.

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