Système particulier de 3 équations quadratiques

[tudor]

Bonjour,

Je dois résoudre le système d'équations suivant:

x²+y²+xy=a
y²+z²+yz=b
z²+x²+zx=c

Cela correspond à un problème physique qui a la plupart du temps (toujours?) une solution et une seule... et j'ai résolu mon système par une méthode numérique plein de fois (pour plein de triplets a,b,c). Mais j'aimerais bien avoir une solution analytique! Pensez-vous que c'est possible? Et si oui, comment?

D'avance merci!

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Si a, b, c sont les carrés des côtés d'un triangle qui a un point de Fermat, alors x, y, z sont les distances de ce point de Fermat aux sommets du triangle.

[tudor]

Merci pour cette observation remarquable! Je n'aurais jamais fait le lien. J'ai appris plein de choses intéressantes sur le point de Fermat, du coup. Malheureusement, je n'ai toujours pas trouvé de méthode analytique pour calculer les trois distances...

[GaBuZoMeu]

Mais si tu l'as, cette méthode analytique : la construction du point de Fermat se fait à la règle et au compas. En suivant patiemment pas à pas ta construction préférée, tu as la solution à ton système en résolvant successivement des équations du premier degré et des équations du second degré. Les solutions s'exprimeront au moyen des quatre opérations et de racines carrées.

[Black Jack]

Juste pour savoir ...

Et qu'est ce qu'on fait si les valeurs de a, b et c sont telles qu'on ne peut pas avoir "a, b, c sont les carrés des côtés d'un triangle" ?

[GaBuZoMeu]

Il est vraisemblable qu'il n'y ait pas alors de solution réelle. C'est à voir plus précisément.
On peut remarquer que comme les termes de gauche des équations sont homogènes de degré 2 en x,y,z, toute solution (x,y,z) s'accompagne de la solution (-x,-y,-z).
À noter qu'on ne peut avoir de solutions réelles que si a, b, c sont tous trois positifs ou nuls.

[GaBuZoMeu]

Non seulement c'est vraisemblable, mais c'est sûr : s'il existe des réels x, y, z tels que les équations du premier message soient vérifiées, alors, a, b, c sont les carrés des côtés d'un triangle.
Mais il semble que tudor se soit découragé ?

[GaBuZoMeu]

Une formule moche qui marche pour x (NB : j'ai réécrit les équations en remplaçant a par a^2, b par b^2 et c par c^2) :

1/6*sqrt(3)*sqrt(2)*sqrt(2*a^6 - 5*a^4*b^2 + 4*a^2*b^4 - b^6 + 2*c^6 + (a^2 - 5*b^2)*c^4 + (sqrt(3)*a^2*b^2 - sqrt(3)*b^4 - (sqrt(3)*a^2 - sqrt(3)*b^2)*c^2)*sqrt(a + b + c)*sqrt(a + b - c)*sqrt(a - b + c)*sqrt(-a + b + c) + (a^4 - 3*a^2*b^2 + 4*b^4)*c^2)/sqrt(a^4 - a^2*b^2 + b^4 + c^4 - (a^2 + b^2)*c^2)

Il y a en fait un signe, qui est le signe de a^2+b^2+a*b-c^2.
Les autres y et z s'obtiennent bien sûr par permutation circulaire.

[GaBuZoMeu]

Vous voulez jouer un peu avec ce système d'équations ? Alors allez voir :

https://www.geogebra.org/m/euamsfmz

[tudor]

Bonjour et merci beaucoup ! Je suis en déplacement avec un accès internet très approximatif, et ce sera bientôt les congés, mais j'ai bien noté tout ça et j'ai déjà alligné deux pages de dessins et d'équations suite à ces bonnes suggestions Pas encore abouti mais confiant!

[GaBuZoMeu]

Pas encore abouti ?
J'ai pourtant l'impression que tout a été fait.

[tudor]

Oui oui, tout à été fait, mais pas par moi Merci beaucoup