Système linéaire n équation p inconnues

[Djmaxgamer]

Lors de mes oraux de maths des petites mines, l'une de mes question étaient de rappeler les formules de Cramer. Ce que j'ai fait, pas de sushis.
Lors de la deuxième partie de la colle, j'ai voulu démontrer ces formules. Le colleur n'a pas voulu, et m'a posé la question suivante : il fallait généraliser la résolution d'un système linéaire à n équations et p inconnues. . Sachant que la matrice associée au système n'est plus carrée, la notion de déterminant n'a plus de sens. Donc, quelle serait la condition, dans le cas général, qu'un tel système admet (ou non) des solutions ?

J'avais répondu intuitivement qu'il y en avait si le système était compatible ou, en raisonnant avec les applications linéaires : si l'élément admettant pour coordonnées le second membre était dans l'image de l'application linéaire associée à la matrice du système. Le colleur à enchainé avec la question : "Mais cela ne vous donnera pas la dimension de l'ensemble des solutions".

Ma réponse intuitive est-elle correcte ? (sans la question de dimension bien sur, juste sur l'existence de solution)
Et pour la deuxième question, à laquelle j'ai totalement séché le jour J, et à laquelle je ne saurais toujours pas proposer une réponse claire, qu'en est-il ?

[Nightmare]

Salut,

sans parler de déterminant, on pouvait toujours parler du rang de la matrice associée, et c'est en fonction de celui-ci, du nombre d'inconnue et du nombre de ligne qu'on va avoir la dimension de l'espace des solutions.

Par exemple pour un système linéaire homogène à n ligne et p inconnues, l'espace des solutions est un ev de dimension p- rang de la matrice.

[Djmaxgamer]

Salut,

sans parler de déterminant, on pouvait toujours parler du rang de la matrice associée, et c'est en fonction de celui-ci, du nombre d'inconnue et du nombre de ligne qu'on va avoir la dimension de l'espace des solutions.

Par exemple pour un système linéaire homogène à n ligne et p inconnues, l'espace des solutions est un ev de dimension p- rang de la matrice.

Et si le système n'a pas de solutions ?