Système JAMAIS VU ! Arithmétique !

[anismemo2003]

Salut a vous tous, je bosse ces temps ci sur la divisibilité et je seche sur le probleme suivant :

Résoudre le systeme suivant dans N^2 :

x + 1 | x + y
2 y - 3 | 2 x + 3 y

Bon la en tatonnant, on remarque la solution x = 3 et y = 5 mais je cherche une méthode de résolution..

Je seche depuis maintenant trop longtemps sur ce probleme.

Merci a vous tous.

[Flodelarab]

x + 1 | x + y
x + 1 | y - 1

2 y - 3 | 2 x + 3 y
2 y - 3 | 2 x + 6 y
2 y - 3 | 2 x + 9

y=k(x+1)+1
2x +9 = k'(2y-3)

2x+9 = k'(2k(x+1)+2-3)
2x+9 = 2kk'x+2kk'-k'
2x - 2kk'x = 2kk'-k' -9

x = (2kk'-k' -9)/(2 - 2kk')

Reste plus qu'à déduire y

[Flodelarab]

Quelqu'un connait-il mieux ?

[anismemo2003]

tu pourra expliquer d'avantage s'il te plait, j'ai pas compris le passage:

2 y - 3 | 2 x + 3 y
2 y - 3 | 2 x + 6 y
2 y - 3 | 2 x + 9

le premier tu dis si a|b donc a|b-a ok


et aussi pour la suite je trouve pas comment tu pourra trouver x et y

Merci, j'avance sur une demonstration trés importante .... :id:

[alben]

Bonjour,
Flodelarab a été un peu étourdi, il faut lire
2 y - 3 | 2 x + 3 y
2 y - 3 | 4 x + 6 y = 4 x + 9 + 3 (2 y -3)
2 y - 3 | 4 x + 9

pour la suite tu peux simplifier en posant a=x+1 et b=y-1
Il te reste a|b et 2b-1 | 4a+5
En posant b=ak, la deuxième condition devient
2ak-1 divise 4a+5
Comme a est au moins égal à 1, k ne peut pas dépasser 5
En essayant toutes des valeurs de k=1 à k=5, tu obtiens les valeurs possibles.
sauf erreur, il y a 2 solutions plus 3 dégénérées (avec x=0)

[anismemo2003]

arrivé ici : a|b et 2b-1 | 4a+5
le systeme est magnifique mais pour la suite de la résolution n'y a t il pas une methode moins intuitive ?

[Flodelarab]

Merci Alben :++:


Cependant la phrase suivante me laisse, a priori, perplexe:
"Comme a est au moins égal à 1, k ne peut pas dépasser 5"


anismemo2003, si ton prof a une méthode systématique, je voudrais bien l'entendre.
Merci

[alben]

Cependant la phrase suivante me laisse, a priori, perplexe:
"Comme a est au moins égal à 1, k ne peut pas dépasser 5"

x€N et donc a=x+1 est au moins égal à 1. Par ailleurs on vérifie que k 2ak-1 4a+5

PS : on pourrait essayer de raisonner sur a et le situer entre 0 à 4. Dans tous les cas, on arrive à un nombre fini (et faible) de cas à examiner un par un. Comme on a finalement pas mal de solutions, je ne pense pas qu'on puisse éviter cette vérification empirique.
De manière générale, il n'existe que très rarement des méthodes systématique pour résoudre les équations diophantienne ou de ce type.
S'il en existe une dans ce cas, je serai, comme Flodelarab, curieux de la connaître

[anismemo2003]

bon mais comment demontrer qu'un tel systeme admet tjs une solution ?

[alben]

Il n'y a pas toujours de solutions
2x | y+1 et 3y+1 | 4x-1 n'a pas de solution.
En effet la 1ère équation impose que y+1 soit pair et donc y impair.
Mais 3y +1 est alors pair et ne peut pas diviser 4x-1 qui est impair !

[Flodelarab]

:++: Merci Alben

D'accord avec toi

[anismemo2003]

merci a vous tous, ;)