Un systeme intordable

[Teuw]

Bonjour à tous!

Je voudrais avoir les solutions exactes (réelles et complexes) de ce système:
x^3 + y^3=35
x^2+y^2=13
IL y en a 6 normalement mais j'en ai trouvé que 2, à savoir les plus simples (2;3) et (3;2).

Merci pour un petit coup de main.

[abcd22]

Bonsoir, je pense que c'est possible en se ramenant à deux équations en x+y et en xy :
x³ + y³ = (x+y)(x² + y² -xy) = (x+y)(13-xy)
et x² + y² = (x + y)² - 2xy = 13.
On peut exprimer xy en fonction de x + y et remplacer dans la 1e équation, ça donne une équation de degré 3 en X = x+y, et comme on connaît déjà les solutions (2,3) et (3,2), 5 est racine de cette équation. On factorise donc en (X-5)(X² + aX + b) = 0, et on trouve 2 nouvelles valeurs possibles pour X = x + y, on en déduit les valeurs de xy correspondantes, et pour trouver x et y il faut résoudre Z² - (x+y)Z + xy = 0 dans les 2 cas, on trouve bien 6 solutions en tout.

[Teuw]

Merci abcd!
Et pour le cas plus général x^3+y^3=a et x^2+y^2=b, est-ce qu'on peut refaire la même chose.

[abcd22]

Et pour le cas plus général x^3+y^3=a et x^2+y^2=b, est-ce qu'on peut refaire la même chose.

On peut toujours trouver une équation de degré 3 en x + y, le problème c'est qu'ici on a utilisé les solutions qu'on connaissait déjà pour pouvoir résoudre cette équation, pour le faire dans le cas général c'est sans doute plus compliqué...