Système à 4 inconnus

[Sycort]

Bonjour,

Je viens demander un peu d'aide après avoir passé par mal de temps sur un petit problème de mathématiques appliqué au domaine de l'urbanisme. Après avoir posé mes différentes équations et inéquations traduisant mon problème, je sui tombé sur un système à 4 inconnues composé d'une équation et de 3 inéquations:

W=a1*X-a2*X*Y-a3*X*Z

b1=>X=>W/b2

Y =>W/d1

Z=>e1

Mes 4 inconnues sont W, X, Y et Z qui sont obligatoirement des nombres positif ou égale à 0 et j'aimerais trouvé :

le maximum de W

les triptyques X,Y,Z optimum permettant d'atteindre cet valeur W

Mes lointains souvenir de mathématiques ne sont plus suffisant pour savoir si mon système permet de répondre à mes questions et si oui, comment y répondre .

Merci par avance pour votre aide.

[phyelec]

Bonjour,

Que savez-vous sur

d'après vos définitions b1 est positif.

[Sycort]

Bonjour,

a1, a2, a3, b1, b2, d1 et e1 sont des constantes définies par des hypothèses de calculs, des paramètres de projet et des règles d'urbanismes .

Avant de rentrer plus dans les détails, je souhaiterai modifier l'écriture de mon équation et de ma première inéquation car en voulant simplifier leurs écritures, j'ai masqué un élément intéressant en lien avec ces constantes. Les nouvelles écritures serait les suivantes :

W=a1*(a2*X-a3*X*Y-X*Z)

b1=>X=>W/(b2*a1)

Dans le détail :

a1 est un réel compris entre 0 et 1. Cependant le cas a1=0 n'est concrètement pas intéressant car W qui représente le potentiel constructible d'un terrain serait alors égale à 0

a2 est un réel. Cependant, il ne peut être concrètement négatif car la parcelle ne pourrait alors contenir tous les éléments programmatiques.

a3 est un réel positif ou nul

b1 est un réel positif. Cependant le cas b1=0 n'est concrètement pas intéressant car W serait une nouvelle fois égale à 0

b2 et e1 sont des réels positifs

[phyelec]

Bonjour,

Merci pour ces éléments. Avec votre nouvelle formulation, vous avez 2 équations et 4 inconnues (W,X,Y,Z), donc non ré solvables : il faut 4 équations pour résoudre un problème à 4 inconnues.
Comme X=> W/b2, vous pouvez écrire avec et donc

[phyelec]

autre chose :

Pour ce qui est du maximum de W. Si W est considérée comme une fonction de 3 variables X,Y,Z. Soit W=f(X,Y,Z).
Il faut dans un premier temps calculer les dérivées premières pour rapport à X,Y,Z et calculer les points critiques c'est à dire ,trouver X,Y,Z vérifiant le système suivant.


Ensuite il faut calculer les dérivées secondes et construire la matrice Hessienne de votre système:



Vous calculez ensuite pour chaque point critique (x,y,z) :
1) la valeur de la matrice hessienne
2) son déterminant , s'il est nul vous ne pouvez pas conclure, si est négatif il s'agit d'un point col ( ou selle , c'est dire que la surface ressemble à un col de montagne ou une selle de cheval), s'il est positif on un maximum ou un minimum local. Pour en savoir plus il faut calculer les valeurs propres : si la matrice Hessienne a toutes ses valeurs propres strictement négatives, alors on a un maximum local pour f. si la matrice Hessienne a toutes ses valeurs propres strictement positives, alors on a un minimum local pour f.

[Sycort]

Merci pour votre aide, je vais étudier plus en profondeur votre deuxième points.