Système d'equation

[picio]

Bonjour,
Je suis élève à SciencesPo et j'ai un exercice de système à rendre.
J'ai vraiment du mal à le faire. Merci d'avance pour votre aide
ln(e^x+e^y)=5
e^(ln(x)/ln(y))=1/e

[rog974]

Bonjour.

Pour se lancer, la deuxième équation permet d'exprimer en fonction de . Ensuite, tu pourras injecter cette information dans la première équation pour n'avoir plus qu'une inconnue.

[picio]

C'est ce que j'ai fait.
Je suis arrivé à x=1/y
Mais quand je remplace ça me donne e^(1/y)+e^y=e^5 et là je sais pas comment simplifier

[Black Jack]

Salut,

ln(e^x+e^y)=5
e^(ln(x)/ln(y))=1/e

Conditions : x > 0 et y > 0 et x et y différents de 1

e^(ln(x)/ln(y))=1/e
e^(ln(x)/ln(y))=e^(-1)
ln(x)/ln(y) = -1
ln(x) = -ln(y)
ln(x) = ln(1/y)
x = 1/y

ln(e^x+e^y)=5
ln(e^x+e^(1/x))=5
e^x+e^(1/x) = e^5

f(x) = e^x + e^(1/x) - e^5
f'(x) = e^x - (1/x²).e^(1/x)

f''(x) = e^x + (e^(1/x)*(2x+1))/x^4 > 0 pour x > 0
--> f'(x) est croissante.

Or f'(x) = 0 pour x = 1

-->
f'(x) < 0 pour x dans ]0 ; 1[ --> f(x) est décroissante
f'(x) > 0 pour x dans ]1 ; +oo[ --> f(x) est croissante.

lim(x--> 0+) f(x) = +oo (> 0)
lim(x--> +1-) f(x) = 2e - e^5 = -142,... < 0
lim(x--> +1+) f(x) = 2e - e^5 = -142,... < 0
lim(x--> +oo) f(x) = 2e - e^5 = +oo > 0

Et donc, il y a 2 solutions à f(x) = 0, l'une dans ]0 ; 1[ et l'autre > 1

On peut approcher ces 2 solutions par approximations successives (par exemple par la méthode dichotomique) avec la précision qu'on veut (mais pas les valeurs exactes)

On trouve x = 0,20033... et x = 4,9917...

et y = 1/x ...

Soit les couples (x,y) : (0,20033... ; 4,9917...) et (4,9917... ; 0,20033...)

[picio]

Waw j'ai compris merci beaucoup pour ton aide !!!