Système differentiel

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moun
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système differentiel

par moun » 10 Nov 2018, 21:29

Bonjour à tous
S.V.P si quelqu'un pourra m'aider à résoudre le système suivant et Merci àtous.

\dfrac{dz}{dt}=10-2\dfrac{z}{x}\\


\dfrac{dx}{dt}=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{20}{3}\dfrac{x}{z}



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mathelot
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Re: système differentiel

par mathelot » 10 Nov 2018, 21:41

moun a écrit:Bonjour à tous
S.V.P si quelqu'un pouvait m'aider à résoudre le système suivant et Merci àtous.


pascal16
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Re: système differentiel

par pascal16 » 10 Nov 2018, 23:25

je suis nul à ch.. en ED, a-t-on le droit de :

de la première EQ, on tire x= f(z ; dz/dt)

on injecte dans la seconde pour avoir une ED qu'on espère de degré 2 dx/dt devenant un f(dz/dt;d²z/dt²)

[edit] : c'est bof en effet, on a un équation certes qu'avec du z, mais plus linéaire, avec des z'² et autres
Modifié en dernier par pascal16 le 12 Nov 2018, 13:55, modifié 3 fois.

moun
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Re: système differentiel

par moun » 10 Nov 2018, 23:38

Bonjour

non ça ne marche pas et de la deuxième on pourra ps éliminé l'autre fonction soit x(t) ou z(t)

Black Jack

Re: système differentiel

par Black Jack » 11 Nov 2018, 13:04

Essayer ceci :

Diviser (dz/dt par dx/dt)

On obtient (à la physicien diront certains) : dz/dx = (10 - 2z/x)/(-2/3 - 20/3 x/z) (1)

On pose ensuite z/x = v

dz/dx = v + x.dv/dx

et en remettant cela dans (1), après quelques triturages, on obtient, me semble-t-il, une équation à variables séparables ...

8-)

moun
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Re: système differentiel

par moun » 11 Nov 2018, 23:25

bonjour
non ça ne marche plus puisque z(t) et x(t) sont des fonctions de t

Black Jack

Re: système differentiel

par Black Jack » 12 Nov 2018, 11:48

moun a écrit:bonjour
non ça ne marche plus puisque z(t) et x(t) sont des fonctions de t


Oui, et alors ?
Cela n'empêche rien.

Il est tout à fait possible d'éliminer t dans un premier temps et d'obtenir une équation différentielle liant x et z ... comme je l'ai indiqué.

Après avoir trouvé les solutions de cette équation (z en fonction de x ou bien x en fonction de z), on remplacera soit z (ou x) par ce qui aura été trouvé comme relation dans la résolution de l'équation diff liant x et z dans une des équations de départ de ton système ...

Et il restera alors une équation différentielle avec t et (soit x, soit z, mais pas les 2), qu'il faudra résoudre.

Il y a sûrement d'autres techniques pour le faire ... mais celle présentée devrait aboutir.

8-)

moun
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Re: système differentiel

par moun » 12 Nov 2018, 16:03

Bonjour

Ok on trouve :

$\dfrac{dz}{dx}=-\dfrac{30xz-6z^{2}}{2xz+20x^{2}}$\\\\

$\Leftrightarrow(30xz-6z^{2})dx+(2xz+20x^{2})dz=0$\\

cette dernière n'est pas une équation différentielle totale ou facteur intégrant elle ne vérifie pas les conditions et les propriétés

Black Jack

Re: système differentiel

par Black Jack » 12 Nov 2018, 17:24

Salut,

Avec un exemple simpliste ((hors énoncé) pour valider la méthode.

z = 3t^4
x = t² - 3

dz/dt = 12t³
dx/dt = 2t

dz/dx = (dz/dt)/(dx/dt)

dz/dx = (12t³)/(2t) = 6t²
dz/dx = 6.(x+3)
-----------

Ou autrement :

z = 3t^4
x = t² - 3

t² = x+3
z = 3.(x+3)²

dz/dx = 3*2(x+3)
dz/dx = 6.(x+3)

Même solution que par la méthode qui semble de poser problème.
-----------------------------

dz/dx = (dz/dt)/(dx/dt) = (10 - 2z/x)/(-2/3 - 20/3 x/z) (1)

dz/dx = -3.(5 - z/x)/(1 + 10 x/z)

z/x = v
z = x.v
dz/dx = v + x.dv/dx

dz/dx = v + x.dv/dx = -3.(5 - v)/(1 + 10/v)

v + x.dv/dx = -3v.(5 - v)/(v + 10)

x.dv/dx = -3v.(5 - v)/(v + 10) - v

x.dv/dx = -3v.(5 - v)- v.(v + 10)/(v + 10)

x.dv/dx = v.(-15 + 3v - v - 10)/(v + 10)

x.dv/dx = v.(2v - 25)/(v + 10)

dv * (v+10)/(v.(2v-25)) = dx/x

On intègre ...

(9/10).ln|25-2v| - (2/5).ln|v| = ln|k.x|

Et avec v = z/x, on a une relation liant x et z

...


Rien vérifié.

pascal16
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Re: système differentiel

par pascal16 » 12 Nov 2018, 19:00

j'ai fait une approximation avec un tableur, sauf erreur de ma part.
dt= 0.1s
en testant plusieurs conditions initiales, à t=3s, y s'est déjà envolé
x semble se stabiliser vers -2 souvent
y part de façon exponentielle, de signe opposé à (x+2)

la tête des courbes laisse présager des solutions approchables par une famille polynôme*exponentielle

moun
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Re: système differentiel

par moun » 12 Nov 2018, 22:23

[quote="Black Jack"]Salut,

Avec un exemple simpliste ((hors énoncé) pour valider la méthode.

z = 3t^4
x = t² - 3

dz/dt = 12t³
dx/dt = 2t

dz/dx = (dz/dt)/(dx/dt)

dz/dx = (12t³)/(2t) = 6t²
dz/dx = 6.(x+3)
-----------

Ou autrement :

z = 3t^4
x = t² - 3

t² = x+3
z = 3.(x+3)²

dz/dx = 3*2(x+3)
dz/dx = 6.(x+3)

Même solution que par la méthode qui semble de poser problème.
-----------------------------

dz/dx = (dz/dt)/(dx/dt) = (10 - 2z/x)/(-2/3 - 20/3 x/z) (1)

dz/dx = -3.(5 - z/x)/(1 + 10 x/z)

z/x = v
z = x.v
dz/dx = v + x.dv/dx

dz/dx = v + x.dv/dx = -3.(5 - v)/(1 + 10/v)

v + x.dv/dx = -3v.(5 - v)/(v + 10)

x.dv/dx = -3v.(5 - v)/(v + 10) - v

x.dv/dx = -3v.(5 - v)- v.(v + 10)/(v + 10)

x.dv/dx = v.(-15 + 3v - v - 10)/(v + 10)

x.dv/dx = v.(2v - 25)/(v + 10)

dv * (v+10)/(v.(2v-25)) = dx/x

On intègre ...

(9/10).ln|25-2v| - (2/5).ln|v| = ln|k.x|

Et avec v = z/x, on a une relation liant x et z

...


Rien vérifié.
Salut
Vos calculs son juste mais toujours on aura un autre problème pour arriver au résultat demandé x(t) et z(t). Après le remplacement par v=z/x on aura la relation suivante [(2z-25x)^9/2]/z^2=K x^15/2

moun
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Re: système differentiel

par moun » 12 Nov 2018, 22:32

pascal16 a écrit:j'ai fait une approximation avec un tableur, sauf erreur de ma part.
dt= 0.1s
en testant plusieurs conditions initiales, à t=3s, y s'est déjà envolé
x semble se stabiliser vers -2 souvent
y part de façon exponentielle, de signe opposé à (x+2)

la tête des courbes laisse présager des solutions approchables par une famille polynôme*exponentielle


Bonsoir
On cherche une méthode pour arriver a une solution si possible

pascal16
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Re: système differentiel

par pascal16 » 13 Nov 2018, 00:00

http://mabouzai.perso.univ-pau.fr/Cours_Math_ISA2.pdf

pour les ED non linéaires, il n'est pas toujours possible d'exprimer une solution sous la forme d'une fonction classique. Celle-ci parait faisable pourtant.

Dans certains cas, c'est un changement de variable qui aide, page 19 et + du cours. En particulier des solutions d'E en z/x donnent du "xln(x)". Tu n'as pas une aide dans les exos précédents ?

perso, si je devais faire une recherche de ce type de solutions, les méthodes approchées peuvent permettre de le trouver une famille de fonctions qui pourront être utiliser rien n'empêche de faire un développement en série entière, mais il faut bcp de temps.

Ben, une idée ?

moun
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Re: système differentiel

par moun » 13 Nov 2018, 01:16

Merci bien pour le cours
Oui et bien sûr les méthodes approchées nous donnes des résultats, mais j'avais posé ce système parce que parfois on le trouvais dans des articles publiés et l'auteur ne donnera pas la méthode de solution, juste il sait: on résoudre tel système etc.....

aviateur
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Re: système differentiel

par aviateur » 13 Nov 2018, 15:11

Bonjour
Si avec alors la solution est
et

pascal16
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Re: système differentiel

par pascal16 » 13 Nov 2018, 16:33

J'ai rouvert mon tableur.
j'ai allongé les colonnes et constaté ce que j'aurai du voir depuis le départ.

explication sans calcul, car les convergences ne sont pas évidentes
z/x grand : z augmente très vite et x/z tend vers 0 soit dx/dt tend -2/3
z/x proche de 1, dz/dt >10 et z augment très vite encore, on a dx/dt-> -2/3
z/x proche de 0 : z croit en valeur absolu et dz/dt revient proche de 10, et dx/dt-> -2/3
.....
bref on a, sauf conditions initiales particulières : dx/dt semble tendre vers -2/3
d²z/dt² lui semble tendre vers une limite (attention, le passage par une suite peut être trompeux )
z/x² semble lui aussi converger

de la seconde éq : x doit devenir négligeable devant z
de la première éq : dz/dt doit tendre donc vers +oo ou -oo
on redérive la première équation, et on remplace les dérivées par la valeur données par les équations

soit x(t)= f(t)*(d-2/3t) et z(t)= g(t)*(20t²+bt+c)
avec f et g (et leurs dérivées) qui tendent vers 1 en +oo ( 1+ cst.exp(-t/tau) par exemple)

PS : c'est peut-être l'analyse des dérivées successives qui est demandé car finalement, elle semblent s'exprimer en fonction de x(t) et z(t)

moun
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Re: système differentiel

par moun » 13 Nov 2018, 23:43

aviateur a écrit:Bonjour
Si avec alors la solution est
et




salut

mais comment?

 

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