Sys. d'equa. diff.

[klaus2010]

Bonjour a tous,
j'ai le système d'équations différentiels suivantes :

x' = A.x + B.y
y' = C.x + D.y

on a ici x,y vinent de R^n
et A, B, C,D sont des matrices R^n.n...

la solution sera

[x(t)] [ A B] [x(0)]
= t*
[C D]
[y(t)] e^ [y(0)]

le problème comment on calcul l'exponentiel de la grande matrice
A B multiplier par t ????
C D

ou c'est vous connaissez quelques références ..
merci en avance ...

[Ben314]

Bonjour,

Pour certaine matrices (nilpotentes par exemple), la définition
exp(M)=som M^n/n! est suffisante.
Sinon, on cherche, par un changement de base, à "simplifier" la matrice M (diagonalisation, jordanisation,...) et on utilise le fait (évident à démontrer) que exp(P^{-1}MP)=P^{-1}exp(M)P.
Dans CERTAIN CAS, on peut essayer d'écrire M=M1+M2 où M1 et M2 COMMUTENT et utiliser exp(M1+M2)=exp(M1)exp(M2) (propriétée un peu plus dure à prouver avec seulement la définition sous forme de série mais qu'il faut absolument connaitre)

Bon calculs

Rajout : je me demande si ma reponse est utile. Tu connait les matrices A,B,C et D ou bien c'est un exercice "théorique" ?

[klaus2010]

merci Ben..

Non, en fait c'est un exercice "théorique"..

[Ben314]

A ce moment là, ma réponse est beaucoup plus simple :

NON, je ne sais pas s'il existe une "formule" pour exprimer l'exponentielle d'une matrice M de taille 2n définie par ces 4 sous-matrices de taille n (j'en doute mais ce n'est pas une preuve...)

A part (tel le bourrin) ecrire M^2, M^3, M^4 pour voir... je ne sais pas quoi faire.

Désolé.