Symétries axiales

[chombier]

En préparant mes cours de 5ème, je me suis posé une question bien intéressante. On parle souvent en 5ème des axes de symétrie d'une figure : des deux du losange, des quatre du carré, des trois du triangle équilatéral, de celui du triangle isocèle...

Et on demande souvent aux élèves de trouver visuellement les axes de symétrie d'une figure. Dans tous les cas les axes sont concourants.

En voyant qu'on retrouve toujours plus ou moins toujours les mêmes configurations (deux axes orthogonaux, trois axes formant des angles de 60°, 4 axes formant des angles de 45°), je me suis demandé si je pouvait construire une figure avec des axes de symétrie certes concourants, mais formant des angles quelconques.

Voici ce que j'ai trouvé :
- l'ensemble vide et l'ensemble de tous les points sont toujours solution, même quand les axes ne sont pas concourants
- si les axes de symétrie sont concourants; un cercle bien centré sera toujours une solution.
- si on a deux axes de symétrie et qu'ils forment un angle de 45°, on aura alors 4 axes de symétrie

Je pense qu'il y a moyen de réfléchir en terme de groupe d'isométries. On cherche finalement le groupe engendré par quelques isométries. Je connais mal ce groupe mais j'ai retrouvé le fait que la composée de deux symétries axiales est une rotation. (On arrive vite au cercle). Si l'angle entre les deux droites est alpha, on a dans le groupe une rotation d'angle 2*alpha, et donc toutes les rotations d'angle 2*k*alpha avec k entier relatif.

Si cette famille de rotations est finie, on aura un polygone solution, dont le nombre de côtés dépends de alpha, et surtout de son rappoer à pi. Si alpha=pi/k, la rotation sera de 2pi/k et un polygone à k côtés sera solution. La figure aura d'ailleurs k axes de symétrie.

Si on ne retombe jamais sur le même point, si k*alpha n'est jamais un multiple de 2*pi, on est pas loin du cercle... Reste à prouver que tous les points sont atteinds.

Celui qui me fournira une figure avec les axes de symétrie les plus farfalus aura gagné le concours du jour !!

Des idées, des pistes ? Merci d'avance )

[lulu math discovering]

Personnellement, quand je recherche des idées farfelues sur les axes de symétrie, je vais voir du côté des objets en 3D.
Avec des polyèdres plus ou moins réguliers, tu dois pouvoir former n'importe quel angle.
Même avec des polygones réguliers à beaucoup de côtés d'ailleurs.

[CBMaths_prof]

Bonsoir,

Sur GeoGebra, j'ai pris deux droites quelconques (donc l'angle est totalement aléatoire mais pas 45, ni 90), je pars d'un point et je fais toutes les symétries possibles et je repète le processus.

Je trouve.... un cercle de rayon où O est l'intersection des deux droites.

Puis, je fais bouger le point A pour voir ce que ça donne et on voit tous les points se déplacer comme une population se déplacer dans une carte.

Bref, cela ne fait pas avancer le schmilblick mais je trouve ça très beau !

[lulu math discovering]

oui c'est cool

[Robot]

Le groupe des isométries engendré par deux symétries orthogonales d'axes sécants en faisant un angle incommensurable avec est dense dans le groupe des isométries fixant .
Une figure invariante par est une réunion d'orbites sous . Je rappelle que l'orbite d'un point sous est l'ensemble des points pour .
L'orbite d'un point différent de est une partie dénombrable (puisque est dénombrable) dense du cercle de centre passant par . Tous les points du cercle ne sont pas atteints (ne serait-ce que parce qu'il y a un nombre non dénombrable de points sur le cercle). Par contre, l'adhérence de l'orbite est le cercle tout entier.
Si on s'entend pour dire qu'une figure doit être une partie fermée du plan, alors toute figure invariante par est une réunion de cercles de centre .

[Robot]

Une remarque supplémentaire. Si une figure compacte (fermée et bornée) est invariante par une isométrie , alors son centre de gravité est invariant par . Les axes de symétrie de la figure sont donc toujours concourants en .

[chombier]

Le groupe des isométries engendré par deux symétries orthogonales d'axes sécants en faisant un angle incommensurable avec est dense dans le groupe des isométries fixant .

Si je te suis,

Une symétrie axiale est une isométrie, c'est donc une bijection (et c'est une involution, mais on s'en fout, la composée de deux involutions n'étant pas, en général, une involution, le sous ensemble des involutions n'est pas un groupe).

G est donc un sous groupe de Bij(P).

Et G est dénombrable car tout groupe engendré par un nombre fini d'éléments est dénombrable. (je crois)

Sinon, densité ça me dit topologie, norme... L'ensemble des isométries du plan est normé ?

Une figure invariante par est une réunion d'orbites sous . Je rappelle que l'orbite d'un point sous est l'ensemble des points pour .

Là on est dans les actions de groupe : m(g, M) = g.M = g(M).

Pour tout point M de F, pour tout g de G, g(M) est dans F. Donc (g_1 o ... o g_n)(M) est dans F, donc l'orbite de M est incluse dans F. ok.

L'orbite d'un point différent de est une partie dénombrable (puisque est dénombrable) dense du cercle de centre passant par . Tous les points du cercle ne sont pas atteints (ne serait-ce que parce qu'il y a un nombre non dénombrable de points sur le cercle). Par contre, l'adhérence de l'orbite est le cercle tout entier.

Ok pour dire que l'orbite d'un point est dénombrable et ne peut pas être un cercle.
Par contre, même si je le ressent intuitivement, je ne sais pas prouver que l'orbite d'un point est dense dans le cercle dans le cas où l'angle entre les deux axes est incommensurable avec pi

J'imagine que cela revient à prouver que {k.alpha modulo 2pi, k in Z} est dense dans [0, 2pi]

Si on s'entend pour dire qu'une figure doit être une partie fermée du plan, alors toute figure invariante par est une réunion de cercles de centre .

Merci pour ces réponses très intéressantes, je travaille beaucoup sur les groupes et c'est un très bon exemple d'application !

Et a propos de topologie (?) deux réels a et b non nuls sont incommensurables s'il n'existe pas de rationnel k tel que ak=b. C'est ce que j'ai envie d'appeler "non multiples l'un de l'autre".

Question : la division euclidienne dans R a-t-elle un sens ? Si a et b sont deux réels positifs et non nuls, il existe bien un réel k tel que a-(k+1)b =0.

Peut-on dire dans ce cas que k est le quotient et a-kb le reste ?

Par exemple, si on divise 30e par pi, on trouve : 30e = 25pi + (30e-25pi), avec 0<=30e-25pi<pi

[Robot]

Si je te suis,

Ca marche ici parce qu'une symétrie est son propre inverse (sinon, il faudrait faire entrer dans la danse les inverses des générateurs).

G est donc un sous groupe de Bij(P).

Plus précisément, c'est un sous-groupe du groupe des isométries du plan, formé des isométries directes ou déplacements (rotations et translations) et des isométries indirectes (symétries axiales).

Sinon, densité ça me dit topologie, norme... L'ensemble des isométries du plan est normé ?

Norme c'est pour un espace vectoriel et le groupe des isométries n'est pas un espace vectoriel. Mais il a une topologie standard, définie par une distance. Pour fabriquer une distance sur le groupe des isométries, on peut par exemple choisir trois points A, B, C non alignés dans le plan et dire que la distance entre les isométries f et g est la somme des distances de f(A) à g(A), de f(B) à g(B) et de f(C) à g(C). Ce n'est pas la seule façon de définir une distance, mais toutes les façons raisonnables donnent la même topologie.

Par contre, même si je le ressent intuitivement, je ne sais pas prouver que l'orbite d'un point est dense dans le cercle dans le cas où l'angle entre les deux axes est incommensurable avec pi
J'imagine que cela revient à prouver que {k.alpha modulo 2pi, k in Z} est dense dans [0, 2pi]

N'as-tu pas vu dans tes études les sous-groupes additifs des réels ? Si et sont incommensurables, ils engendrent un sous-groupe dense de . C'est un résultat standard. Tout sous-groupe additif de est soit dense, soit le sous-groupe des multiples entiers d'un réel.

Et a propos de topologie (?) deux réels a et b non nuls sont incommensurables s'il n'existe pas de rationnel k tel que ak=b. C'est ce que j'ai envie d'appeler "non multiples l'un de l'autre".

L'incommensurabilité ne relève pas de la topologie. C'est la terminologie antique, cette notion se trouve chez Euclide. Ton appellation "non multiples l'un de l'autre" est un contresens : 7 et 3 ne sont pas multiples l'un de l'autre, mais ils ne sont pas incommensurables (ils ont l'unité comme commune mesure).

[quote="chombier"]Question : la division euclidienne dans R a-t-elle un sens ? Si a et b sont deux réels positifs et non nuls, il existe bien un réel k tel que a-(k+1)b =0.
Peut-on dire dans ce cas que k est le quotient et a-kb le reste ?
Par exemple, si on divise 30e par pi, on trouve : 30e = 25pi + (30e-25pi), avec 00) l'entier k tel que, de sorte que a=kb+r avec . On peut recommencer si r est non nul en prenant la partie entière du quotient de b par r : l'entier tel que avec , etc.
Si l'algorithme s'arrête, on a trouvé une commune mesure de a et b. S'ils sont incommensurables, l'algorithme ne s'arrête pas et construit ce qu'on appelle le développement en fraction continue de a/b.

[chombier]

Merci pour toutes ces précisions :++:

[Robot]

Avec plaisir.