Surjection

[Intelego]

Bonjour,

Au fil de ma lecture de « Mathématiques » de Jean-Pierre Ramis je suis tombé sur l’exercice 9 qui dit :

« Soient E={a} et F={b,c}. Existe-t-il des surjections (resp. des injections, des bijections) de E dans F ?

Solution. Si b différent de c, il y a deux applications de E dans F (respectivement définies par a vers b, a vers c), et elles sont toutes les deux injectives et non surjectives. Si b = c, il n’y a qu’une application (définie par a vers b ) et elle bijective.

Voilà l’intitulé de l’exercice et sa solution.

Mais précédemment la relation surjective est définie comme le fait d’avoir au moins un antécédents. Or là, il y a en a 1 au moins et c’est a. Le minimum requis pour que la relation soit surjective.

Pourquoi devant une telle évidence, je suis dans l’erreur si la définition est de mon côté ?

Merci pour toute réponse,


Intelego.

[hdci]

Bonjour,
Surjectif, cela signifie que chaque élément de l'ensemble d'arrivée possède au moins un antécédent.

Si , alors l'un des deux éléments de n'a pas d'antécédent car n'a qu'un seul élément :

• si alors n'a pas d'antécédent
• si alors n'a pas d'antécédent).

[danyL]

bonsoir
il faut plutôt regarder la définition d'une application
dans une application, un élément de l'ensemble de départ ne peut pas avoir plusieurs images dans l'ensemble d'arrivée
'a' ne peut pas avoir 2 images 'b' et 'c'

[Intelego]

D’accord c’est limpide, j’ai compris les conditions d’une surjection. Merci

Dans la définition qui m’a été donnée je voudrais savoir si ce que vous me dites je pouvais le deviner juste en me limitant à cette définition que je vous envoie ci-joint.



C’est à dire est-il dit explicitement dans cette définition que les images ne peuvent avoir qu’un antécédent et un seul uniquement ?

Comme j’ai 700 pages de définitions et commentaires, s’il y a quelque chose à lire entre les lignes autant que je le sache tout de suite.

Merci,

Intelego.

[pascal16]

f surjectif
<=>
tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au moins un antécédent par f

un élément de l'ensemble d'arrivé : y
il a un ou plusieurs antécédent, on appel x l'un d'entre eux, on a l'existence de x tel que y=f(x).

[Intelego]

Oui j’ai compris cela. D’accord. Oui je souscrit. Aucun doute.

Mais où il dit dans ma définition ci-jointe envoyé qu’une image ne peut avoir le même antécédent que sa voisine ?

Intelego.

[pascal16]

Avant de savoir si une fonction est surjective, ça doit être une fonction.

une fonction associe à un élément de l'ensemble de départ une et une seule image.

les objets type relation, classe d'équivalence n'ont elle pas de restriction sur le nombre d'élément liés, mais on ne parle pas d'image et d'antécédent, seulement d'éléments en relation.

[Intelego]

Merci.

[danyL]

c'est ce que je t'avais répondu

[pascal16]

PS : j'ai utilisé le terme "fonction" au lieu d'"application", trompé par une appellation f.


PS2 : DanyL, c'est très souvent le cas que la bonne réponse soit donnée très tôt mais qu'il faille un peu de temps pour que la compréhension se fasse.

PS3 :
fonction vs application.
C'est un peu différent maintenant que quand j'ai fais mes études : quand on cherche l'ensemble de définition maximal, on parle de fonction, et quand on l'a trouvé, la définition complète devient une application (ens de départ, ens d'arrivée + comment connaitre l'image de tout élément de l'ensemble de départ).

[hdci]

PS : j'ai utilisé le terme "fonction" au lieu d'"application", trompé par une appellation f.

[...]
PS3 :
fonction vs application.
C'est un peu différent maintenant que quand j'ai fais mes études : quand on cherche l'ensemble de définition maximal, on parle de fonction, et quand on l'a trouvé, la définition complète devient une application (ens de départ, ens d'arrivée + comment connaitre l'image de tout élément de l'ensemble de départ).

Quand j'étais étudiant, j'avais comme définition pour "fonction" : chaque élément de l'ensemble de départ admet au plus une image, et pour "application" : chaque élément admet exactement une image (je crois ue c'est la définition donnée par Bourbaki qui a servide base aux "maths modernes" de l'époque, non ?)

J'ai cru comprendre en reprenant récemment les études que cela avait changé (notamment parce que les anglosaxons ne font pas cette différence) et qu'on ne parlait plus d'application, mais que le terme de fonction avait remplacé celui d'application.

Qu'en est-il précisément ?

[pascal16]

c'est la bonne définition actuelle

exemple :
f(x) = 1/x supposée de R dans R est une fonction
on fait son ensemble de définition (moi, c'était domaine de définition)
f(x) = 1/x de R* dans R est une application

on remarquera qu'on l'appel f à chaque fois, mais c'est pas la même mathématiquement.

au passage
f(x) = 1/x de R* dans R* est une application surjective, injective et bijective

Pour aller plus loin, il y a des cas, où c'est vraiment dur d'être stricte :
soit ? qui à un entier naturel "associe ?" un entier naturel égal à sa moitié.

[coc0]

Bonjour,

Je permets de relancer ce topic car en le lisant une question mes venue.

En effet, quand b c ces deux applications sont injectives et non surjectives.

Non surjective. Pourtant ne peut-on pas envisager que ces applications soi des fonctions multivaluées? De ce faite, ne seraient-elles pas surjectives?

Merci d'avance pour vos réponses

coc0

[hdci]

Qu'es-ce que c'est, une fonction multivaluée ? Cela signifie-t-il qu'un même élément peut avoir plusieurs images ?

Si c'est le cas, par définition ce n'est pas une fonction, puisque la définition d'une fonction c'est qu'un élément a au plus une image. Et la définition d'une surjection, c'est une fonction dont chaque élément de l'ensemble d'arrivée a au moins un antécédent.

Dans le cas où un élément a plusieurs images, on parle de relation et plus de fonction, et dans ce cas les notions de surjeciton, injection etc. ne sont pas utilisées, on caractérise plutôt les relations comme des relations d'équivalence, d'ordre, d'ordre strict.

[coc0]

Merci pour votre réponse hdci

Cela paraît beaucoup plus claire.

Merci d'avoir éclairé ma lanterne.

cordialement

coc0