Surface orientable

[iamsebfont]

Bonjour,

Voilà, on me donne une représentation paramétrique de nappe :



et je dois déterminer si elle décrit une surface orientable ...

Je ne vois pas comment procéder

Merci

[mathelot]

bonjour,

je ne sais si cela peut vous aider,mais en attendant un avis autorisé ! :

calculer la différentielle de votre application,en chaque point de la surface,
ce qui donnera deux vecteurs de base du plan tangent.
considérer une 2-forme alternée qui donne l'orientation du plan tangent. L'espace vectoriel de ces 2-formes est de dimension 1. Calculer la coordonnée de la 2-forme alternée , par contre je ne vois pas dans quelle base, et montrer
que l'orientation est préservée sur tout lacet fermé. est-ce que cela suffit
de le vérifier uniquement pour les lacets créés par le paramétrage à cause
de ses points doubles ?

[sept-épées]

Cette surface est incluse dans un plan, non? elle est donc orientable.

[mathelot]

La question est mal posée.La nappe n'étant pas injective, la notion d'orientation
n'est pas clairement définie. L'ensemble image n'est pas une variété,
visualisée sous Maple,c'est un cylindre dont aurait rapproché deux génératrices
opposées jusqu'au contact.La nappe paramétrée,elle, est orientable.