Sur les fractions continues

[Kikoo <3 Bieber]

Hello,

On définit par récurrence des fonctions de n+1 variables de , par :
(je mets ) et

Après avoir démontré que : par récurrence j'aimerais désormais montrer que si la fonction définie par est strictement monotone sur alors est également strictement monotone de monotonie opposée.

J'ai commencé à donner un signe pour la différence de deux termes consécutifs pour la (F_n) mais je bloque complètement !
Si vous pouviez me suggérer une piste de recherche, merci

[Doraki]

si la fonction définie par est strictement monotone sur

peux-tu préciser ce que tu entends par là ?

[Kikoo <3 Bieber]

J'ai édité mon message. J'irai sur l'ordi ce soir pour en parler plus facilement.

[Kikoo <3 Bieber]

Salut Doraki !

J'ai édité mon message. J'irai sur l'ordi ce soir pour en parler plus facilement.

Alors ce que j'ai fait : une récurrence pour montrer que avec .

J'ai et
Mais comment montrer que si la fonction est strictement monotone, alors le sera aussi mais d'une monotonie opposée ?

[Kikoo <3 Bieber]

Up

Siouplait, une petite aide :)

[Doraki]

Fixe x0,x1,x2,...,xn.
La fonction x(n+1) -> F(n+1)(x0,x1,x2,...,xn,x(n+1)) est la composée de la fonction yn -> Fn(x0,x1,x2,...,x(n-1),yn) et de quelle fonction ?

[Kikoo <3 Bieber]

Fixe x0,x1,x2,...,xn.
La fonction x(n+1) -> F(n+1)(x0,x1,x2,...,xn,x(n+1)) est la composée de la fonction yn -> Fn(x0,x1,x2,...,x(n-1),yn) et de quelle fonction ?

Et de la fonction x -> 1/x
Dans ce cas, je montre que si F(n) est strict croissante, alors j'aurai F(n+1) strict décroissante et vice versa !
Merci

[Doraki]

Perdu,
F(n+1)(x0,x1,...,xn,x(n+1)) n'est pas la même chose que Fn(x0,x1,...,x(n-1),1/x(n+1)).

Mais y'a de l'idée.

[Kikoo <3 Bieber]

De la fonction (x_n,x_{n+1}) -> (x_n + 1/x_{n+1}) alors ?

Sinon, je pensais partir d'une n+1-liste d'objets (x1, x2, ..., x_{n+1}) fixés et poser ensuite x'_{n+1} tel que x_{n+1} < x'_{n+1}
Je dis (par exemple) que F_n (fonction de la n+1-ème variable) est croissante. Dans ce cas, j'ai :
F_n(x0,...,x'_{n+1}) > F_n(x0,...,x_{n+1})
D'où 1/(F_n(x0,...,x_{n+1})) < 1/(F_n(x0,...,x'_{n+1}))
x0 + 1/(F_n(x0,...,x_{n+1})) < x0 + 1/(F_n(x0,...,x'_{n+1}))
Donc F_{n+1}(x0,...,x'_{n+1}) > F_{n+1}(x0,...,x_{n+1})

Mon but était de partir de F_n pour ensuite revenir à F_{n+1} en établissant différentes inégalités.
Je me demande cependant s'il est légitime de faire ainsi.

[Doraki]

[quote="Kikoo (x_n + 1/x_{n+1}) alors ?[/quote]
De la fonction x(n+1) -> xn + 1/x(n+1) (j'ai bien dit que x0,x1...xn sont fixés et qu'on regarde Fn(x0...x(n+1)) comme une fonction de x(n+1) seulement)

Si tu fixes a0,a1,..,an,
tu as une fonction f : R+* -> R+* : x -> F(n+1)(a0,a1,...,an,x)
une fonction g : R+* -> R+* : y -> Fn(a0,a1,...,a(n-1),y)
une fonction h : R+* -> R+* : x -> an+1/x
Et on a bien f = g ° h.

Comme h est décroissante, f et g ont des sens de variations contraires.
Avec ça tu montres par récurrence que les fonctions x -> Fn(a0,a1,...,a(n-1),x) alternent entre croissantes et décroissantes.

[Kikoo <3 Bieber]

De la fonction x(n+1) -> xn + 1/x(n+1) (j'ai bien dit que x0,x1...xn sont fixés et qu'on regarde Fn(x0...x(n+1)) comme une fonction de x(n+1) seulement)

Hum oui oui absolument !

Si tu fixes a0,a1,..,an,
tu as une fonction f : R+* -> R+* : x -> F(n+1)(a0,a1,...,an,x)
une fonction g : R+* -> R+* : y -> Fn(a0,a1,...,a(n-1),y)
une fonction h : R+* -> R+* : x -> an+1/x
Et on a bien f = g ° h.

Comme h est décroissante, f et g ont des sens de variations contraires.
Avec ça tu montres par récurrence que les fonctions x -> Fn(a0,a1,...,a(n-1),x) alternent entre croissantes et décroissantes.

Ok pour le raisonnement, mais les calculs que j'ai fait précédemment sont-ils valables ?

[Doraki]

Ben ils commencent en parlant de, je cite, " Fn(x0,x1,...,x(n+1)) ", ce qui est super pas clair puisque Fn a n+1 arguments et pas n+2. Et même si tu voulais dire Fn(x0,x1,....,x(n-1) ,x(n+1)); ben je doute un peu de sa pertinence puisque ton but est a priori de parler de Fn+1(x0,x1,...,x(n-1),xn,x(n+1)) = Fn(x0,x1,...,x(n-1),xn+1/x(n+1)).
Ensuite tu vas dans l'autre direction de ce à quoi je pensais (utiliser la définition de Fn plutôt que le premier résultat que tu as montré). C'est possible d'adapter mon argument avec les compositions pour utiliser la définition de Fn, mais en tout cas quand tu écris "x0 + 1/Fn(x0,x1....)" on se dit que tu fais encore n'importe quoi puisque tu parles de F(n+1)(x0,x0,x1,...) au lieu de F(n+1)(x0,x1,x2,...).

Donc en fait tu as une manière bizarre de nommer tes variables quand on regarde ce que tu fais avec.