Supremum essentiel

[Chrisman696]

Bonjour tout le monde !
Je suis un étudiant dans une grande école, et je suis en train d'étudier l'intégrale de Lebesgue.
Le prof nous parle de la notion de supremum essentiel d'une fonction.
On considère (E, , ) un espace mesuré, et f: E -> R une fonction de X dans les réels, mesurable.
On introduit le supremum -essentiel de f par:



Mon prof a ensuite dit:
Il est facile de voir que pour presque tout x, |f(x)| =< esssup f ( =< veut dire inférieur ou égal )

Je bloque dessus depuis un moment, car je n'arrive pas à voir pourquoi cette propriété est vraie. Enfin j'essaye de le montrer mais je n'arrive pas à grand chose. Est ce que quelqu'un peut me guider un peu svp?

Merci !

[Doraki]

{x / |f(x)| > a} est la réunion dénombrable croissante des {x / |f(x)| > a+1/n}.
Si tu prends a = essup f, µ({x / |f(x)| > a+1/n}) = 0 pour tout n, donc µ({x / |f(x)| > a})=0.
Et donc essup f est en fait le minimum de {a>0 / µ({x / |f(x)| > a})=0}

[Deliantha]

Deux résumés captivants de cours pour l'espace et l'intégrale de Lebesgue explicitent le thème (en supplément) :
- les espaces de Lebesgue
- L'intégrale de Lebesgue en propriétés