(à supprimer)

par **JohnSheppard** » 31 Oct 2008, 18:51

à supprimer svp

(Un grand merci à Monsieur23 pour son aide)

par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 18:56

Aloha !

Pour la première, c'est bon, mais c'est inutile de dire que Ai est inclus dans E. C'est juste parce que ta fonction est surjective.

Pour la 2ème, prend i et j des entiers distincts.
Si x appartient à Ai et Aj, que se passerait-il ?

par **SimonB** » 31 Oct 2008, 19:01

Bon, il y a une erreur dans l'énoncé ; c'est

(sans ça, ça n'a pas de sens...).

JohnSheppard a écrit:* pour la première, nous pensons qu'il suffit de dire que f^-1({i}) (c'est-à-dire Ai) est inclus dans E, or f est surjective, donc f^-1({i}) est différent de l'ensemble vide.
Donc Ai est différent de l'ensemble vide
CQFD
--> ceci dit on a probablement faux !

L'argument "f est surjective" est effectivement suffisant, mais tu n'y es pas.

Dire que f est surjective, ça veut dire que chaque élément de l'ensemble d'arrivée a (au moins) un antécédent dans l'ensemble de départ. Donc...

* pour la seconde et la troisième, alors là, on est scotché ! On a beau chercher, il faudrait à la limite que f soit injective pour qu'on arrive à nos fins (mais ce n'est pas le cas :s)

Il ne faut pas confondre "f est injective" (ce qui est une propriété pas nécessairement vérifiée) et "tout élément de l'ensemble de départ a une unique image dans l'ensemble d'arrivée" (ce qui est la définition d'une application).

Utilisant cette remarque, tu devrais arriver à résoudre la 2 (au moins)...

par **JohnSheppard** » 31 Oct 2008, 19:05

..........

par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 19:08

Si tu prends un x dans Ai inter Aj, alors que vaut f(x) ?

( ie si x est dans Ai, que vaut f(x) ? et si x est dans Aj, que vaut f(x) ? Conclusion ? )

Edit : Si si, si x est dans Ai inter Aj, alors x est dans Ai ET x est dans Aj. Y'a pas de x' qui intervient

par **JohnSheppard** » 31 Oct 2008, 19:20

..........

par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 19:23

JohnSheppard a écrit:J'arrive à ça:

Pour tout x (Ai inter Aj),
x xAi et xAj
=> xf^-1({i}) et xf^-1({j})

Ça c'est bon.

Or f est surjective
Donc f^-1({i}) différent de ensemble vide et f^-1({j}) différent de ensemble vide.
=>( f^-1({i}) inter f^-1({i}) ) différent de ensemble vide
=>(Ai inter Aj) différent de ensemble vide

Qu'en pensez-vous ?

{1,2} et {3,4} sont des ensembles non vides, donc {1,2} inter {3,4} est non vide ?

Comment peux-tu traduire x est dans f^-1({i}) ?

par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 19:28

ATTENTION :

Ai et Aj sont dits disjoints si et seulement si leur intersection est égale à l'ensemble vide.

par **JohnSheppard** » 31 Oct 2008, 19:29

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par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 19:32

xE, f(x){i} et f(x){j}

Oué, c'est ça !

Donc f(x) = i et f(x) = j, ce qui est pas tellement possible pour une application.

Donc le x que t'as honteusement pris dans l'intersection, sans même vérifier qu'il existait, bah en fait il existe pas.
Donc Ai inter Aj = ø
Tu comprends ?

par **JohnSheppard** » 31 Oct 2008, 19:38

..........

par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 19:44

Pour la rédaction, remplace plutôt "Pour tout x " par "Supposons qu'il existe x ".

Ensuite, remplace les => par des "donc".
Et rajoute "car i différent de j et que f est une application" après "C'est impossible" ( 'vaut mieux répéter les trucs, ça coûte pas plus cher, et ça permet de bien voir le raisonnement ).

Pour la troisième, l'inclusion

est triviale.

Pour l'autre inclusion, si x est dans E, à quel ensemble Ai pourrait-il appartenir ? ( tu es sûr que ce n'est pas "Pour tout i dans N" dans l'énoncé ? )

par **JohnSheppard** » 31 Oct 2008, 19:54

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par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 19:58

Pour l'inclusion directe, 'suffit de dire que chaque Ai est inclus dans E, donc la réunion aussi.

Sinon, si I est une partie de N quelconque, ça foire.

Genre I = {0}, E = R, f(x) = x.

Tu as A0 = {0} != R.

par **JohnSheppard** » 31 Oct 2008, 20:01

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par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 20:06

Oui, l'exercice est faux. :we:
Enfin juste la question 3.

Enfin, juste l'inclusion réciproque de la question 3 ! :we:

par **JohnSheppard** » 31 Oct 2008, 20:08

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par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 20:12

Si I=N tout entier, ça marche bien.

Et pour montrer l'inclusion réciproque :

Soit x dans E.
Alors f(x) est dans N.
Et par définition, x appartient à f^-1 ( {f(x}), donc x est dans A(f(x)).
Donc x est dans un des Ai, donc dans la réunion.

En fait, il suffit que f(E) soit inclus dans I pour que ça marche.

par **JohnSheppard** » 31 Oct 2008, 20:21

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par **Monsieur23** » 31 Oct 2008, 20:24

Par définition des Ai.

(à supprimer)

(à supprimer)

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