Sup f et inf f Majorant/Minorant

[pluie2]

Bonjour, j'ai cet exercice, avec son corrigé ue je ne comprends pas merci de bien vouloir me l'expliquer :

Soit f(x)=(x²+2x+1)/((x²+2x+4) déterminer sup f et inf f.

En gros je dois chercher le plus petit des majorant et le plus grand des minorant.

Le corrigé me donne :

f(x)=(x²+2x+1)/((x²+2x+4) =1-2/(x²+2x+4);) 1. Montrons que sup f=1. En effet, 1 est bien un majorant de f et si p>0 on peut trouver x tel que 1-p<1-3/(x²+2x+4). Il suffit de prendre x tel que x²+2x+4 > 1/p ce qui est vrai dès que x > 1/2p.

Voilà je n'ai pas posté le inf f car je ne comprends pas cette première correction merci de m'aider

[chan79]

salut


f(x) est toujours positif et donc minoré par 0 et f(-1)=0
Par ailleurs le numérateur est inférieur au dénominateur donc f(x) <1
Comme la limite en +inf est 1, on peut dire que 1 est le plus petit des majorants

[pluie2]

salut

bonjour,
f(x) est toujours positif et donc minoré par 0 et f(-1)=0
Par ailleurs le numérateur est inférieur au dénominateur donc f(x) <1
Comme la limite en +inf est 1, on peut dire que 1 est le plus petit des majorants

f(x) <1 comment trouvez vous cette inéquation ?

Pour le minorant, je dois dire aussi que f(x) est toujuours positif et ...comment je dois rédiger ?

[adrien69]

Un majorant est un sup si tu peux t'en approcher autant que tu le souhaites en te déplaçant le long de l'axe des réels. Ici qu'est-ce qui se passe ? 2/(x²+2x+4) est toujours strictement positif (du fait du discriminant du dénominateur) et tend vers 0 en plus ou moins l'infini. Ce qui veut dire que si x ou -x est suffisamment grand, f(x) sera aussi proche que tu le veux de 1. Après tu peux faire comme ton corrigé et quantifier ce "suffisamment grand" en fonction du "aussi proche" que tu as choisi. Et c'est là qu'on fait intervenir un p>0 qui est notre "aussi proche que l'on veut" et qu'on cherche une condition sur x pour que f(x) soit à une distance p de 1.

[jlb]

Bonjour, j'ai cet exercice, avec son corrigé ue je ne comprends pas merci de bien vouloir me l'expliquer :

Soit f(x)=(x²+2x+1)/((x²+2x+4) déterminer sup f et inf f.

En gros je dois chercher le plus petit des majorant et le plus grand des minorant.

Le corrigé me donne :

f(x)=(x²+2x+1)/((x²+2x+4) =1-2/(x²+2x+4);) 1. Montrons que sup f=1. En effet, 1 est bien un majorant de f et si p>0 on peut trouver x tel que 1-p 1/p ce qui est vrai dès que x > 1/2p.

Voilà je n'ai pas posté le inf f car je ne comprends pas cette première correction merci de m'aider

salut, le truc c'est qu'il y a des petites erreurs: si tu as x²+2x+4>3/p alors p>3/(x²+2x+4) et 1-p 3/(2p) car x²+2x+4>2*3/(2p)=3/p

la démo repose sur la définition de la borne sup: 1 majore {f(x), x réel}, sous la forme 1-3/(x²+2x+4) c'est clair car tu retires à 1 un nombre positif non nul(à montrer!!) et dès que tu prends un nombre plus petit que 1, ce n'est plus un majorant de l'ensemble puisque tu montres: il existe x tel que 1-p<f(x)

je suis d'accord avec toi mais bon, comte tenu du corrigé, tu devais utiliser la définition, non? mais si tu sais justifier que la limite est ton sup, no problèmo, utilise la méthode de Chan

[pluie2]

ok mais je trouve la démosntration de chan79 plus accessible je ne comprends juste paspourquoi f(x) est strictement inférieur à 1

[adrien69]

f(x) <1 comment trouvez vous cette inéquation ?

Pour le minorant, je dois dire aussi que f(x) est toujuours positif et ...comment je dois rédiger ?

Ce n'est pas une inéquation. Une inéquation c'est une question. Là tu affirmes quelque chose. C'est inégalité ici.

Et ce n'est pas bien compliqué.

[adrien69]

ok mais je trouve la démosntration de chan79 plus accessible je ne comprends juste paspourquoi f(x) est strictement inférieur à 1

Sûrement parce que je n'ai rien démontré, juste expliqué.

Celle de Chan79 n'est pas plus accessible que celle que ton corrigé te donne. Juste astucieuse. Et c'est pour cela qu'elle est plus compliquée. Celle de ton corrigé est systématique.

[jlb]

Sûrement parce que je n'ai rien démontré, juste expliqué.

Celle de Chan79 n'est pas plus accessible que celle que ton corrigé te donne. Juste astucieuse. Et c'est pour cela qu'elle est plus compliquée. Celle de ton corrigé est systématique.

Salut, dans la méthode de Chan, il faut justifier que la limite donne la borne sup, cela demande quelques explications,non?

[pluie2]

Sûrement parce que je n'ai rien démontré, juste expliqué.

Celle de Chan79 n'est pas plus accessible que celle que ton corrigé te donne. Juste astucieuse. Et c'est pour cela qu'elle est plus compliquée. Celle de ton corrigé est systématique.

D'accord je vais refaire

[adrien69]

Salut, dans la méthode de Chan, il faut justifier que la limite donne la borne sup, cela demande quelques explications,non?

Ouep, mais l'astuce n'est pas là, elle est dans le fait qu'on ait presque le même polynôme en haut et en bas.

[pluie2]

Ouep, mais l'astuce n'est pas là, elle est dans le fait qu'on ait presque le même polynôme en haut et en bas.

d'accord je vais les refaire et si j'ai un problème je vous le dis

[pluie2]

donc finalement, j'ai compris la méthode de chan79. J'aimerais donc pouvoir l'utiliser pour trouver le inf f.

Soit f(x)=(x+1)²/(x+1)²+3 comment je dois démarrer ?

[jlb]

donc finalement, j'ai compris la méthode de chan79. J'aimerais donc pouvoir l'utiliser pour trouver le inf f.

Soit f(x)=(x+1)²/(x+1)²+3 comment je dois démarrer ?

ben, f(x)>=0 pour tout x réel et pour x=-1 f(x)=0