SUP - Fonctions additives sur des sous-ensembles de R

[michelbaie]

Bonjour à tous,

Je suis complètement bloqué sur un exercice avec des fonctions additives (j'ai du mal à comprendre les questions ou ce qu'il faut chercher)

Voici l'énoncé:
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On rappelle qu'une fonction additive est une fonction telle que:


On peut admettre que toute fonction additive sur est linéaire.

On pose {}

Q1) On pose f1 la restriction de f à . Montrer que f est additive, et en déduire que f1 est linéaire.

Q2) On pose f2 la restriction de f à ={}. Montrer, à l'aide d'une fonction additive sur définie à partir de f2, que f2 est linéaire.
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Pour la question 1, j'ai dit que puisque f est additive alors une restriction sur f l'est aussi. j'en ai donc déduit qu'elle était linéaire. Est-ce que c'est suffisant ?

Pour la question 2 je ne comprends pas, qu'est ce que ça veut dire de "prendre une fonction sur définie à partir de f2" ? f2 est définie sur , j'ai du mal à voir comment on peut en faire une fonction définie sur Q...

Je vous remercie d'avance pour votre aide, je suis vraiment bloqué là...

[mathelot]

soient p,q deux entiers,q non nul.

Comme f est additive:




donc pour tout rationnel r


on pose