Sup, complexe et ev

[Blablabla95]

Bonjour à toutes et à tous,

je suis en fin de première année de prépa TSI au grande école.
J'ai 6 gros exercices de maths à faire et dont il est important que je les fassent correctement pour avant la fin de cette année scolaire(fin juin).
Le problème est que je bloque sur 2 d'entre eux dont je vous met les énoncés plus bas.
Je précise que je ne souhaite pas que l'on me donne la solution, simplement que l'on me donne une piste, où encore la méthode à suivre, les étapes.

Ex 1:
Soient a ;) C, de module 1 et z1,.....,zn les racines nièmes de a.
Montrer que les images de (1+z1)^n,....,(1+zn)^n sont alignés.

Ex2:
Donner une CNS pour que f(x)=(a|x)b+b;)x où a et b sont fixées dans R³, soit un isomorphisme de R³ et déterminer f^-1

Merci d'avance pour votre aide
Cordialement

[lionel52]

Une racine n-ème de a s'écrit : exp(i*(u + 2kpi)/n) avec u un argument de a
1 + exp(i*(u + 2kpi)/n) a pour argument (u + 2kpi)/2n = u/2n + kpi/n

donc (1 + exp(i*(u + 2kpi)/n))^n a pour argument u/2 + kpi
tous ces nombres sont congrus à u/2 modulo pi donc les affixes des zk se trouvent sur la même droite!

[adrien69]

ex 2 :

f est clairement linéaire.
Théorème du rang : f isomorphisme <=> Ker(f)=0
Quelle est la condition pour que Ker(f)=0
f(x)=0 <=> (a|x)b+b;)x=0

Or b et b;)x sont toujours orthogonaux, etc.

b;)x=0 => x=cb pour un certain c réel, ou b=0

(a|x)b=0 => b=0 ou x orthogonal à a

Comment être sûr (CNS) qu'on ne peut pas avoir (a|x)=0 et b;)x = 0 en même temps ?

[Blablabla95]

Merci beaucoup à tous les 2, je vais essayer d'appliqué ça et vous tiens au courant :)

[Doraki]

1 + exp(i*(u + 2kpi)/n) a pour argument (u + 2kpi)/2n

Euuuuuuh ...

[Blablabla95]

bonjour,

je ne me suis frotté qu'au second pour l'instant qui me parait plus simple, et j'ai quelques interrogations sur le commentaire de adrien69.

Tout d'abord je ne comprend ces 2 lignes:
Or b et b;)x sont toujours orthogonaux, etc.---> pourquoi sont ils toujours orthogonaux?

b;)x=0 => x=cb pour un certain c réel, ou b=0---> d'accord pour le b=0 mais x=cb?

Enfin je ne vois pas pourquoi il faudrait trouver une CNS pour que (a|x) et b;)x ne soit pas égale à 0 en même temps car n'est ce pas se que l'on souhaite trouver? Ce résultat répondrait à notre attente nan?

[adrien69]

Tout d'abord je ne comprend ces 2 lignes:
Or b et b;)x sont toujours orthogonaux, etc.---> pourquoi sont ils toujours orthogonaux?

Définition du produit vectoriel ?

b;)x=0 => x=cb pour un certain c réel, ou b=0---> d'accord pour le b=0 mais x=cb?

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est (???)

Indication : remplacer le (???) par le bon mot de trois lettres.

Enfin je ne vois pas pourquoi il faudrait trouver une CNS pour que (a|x) et b;)x ne soit pas égale à 0 en même temps car n'est ce pas se que l'on souhaite trouver? Ce résultat répondrait à notre attente nan?

Ben on veut f(x)=0 x=0, on va appeler cette proposition (1)

Moi je te dis "(a|x) et b;)x n'ont pas le droit de s'annuler en même temps", j'appelle cette condition (2), on remarquera que (2) implique que a et b sont non nuls.

J'affirme qu'on a (2) si et seulement si on a (1). (cf mes indication du départ pour (1)=>(2) et un simple calcul donne le (2)=>(1))

La question c'est "y a-t-il une condition équivalente (3), et "plus simple" sur a et b, telle que (3)(2)"

On aura alors (3)(1) et tu auras ta réponse.

[adrien69]

Pour l'autre exo montrer que si est la kième racine de a :


où est un réel et est l'argument de a

(j'ai l'impression que ça ne marche que pour a sur le cercle unité)

[zygomatique]

salut

pour l'exercice 2 :

tu peux considérer deux cas (je suppose a et b non nuls)

1/ a et b sont colinéaires : soit k tel que b = ka

soit alors c un vecteur orthogonal à a et d = a^c

alors (a, c, d) est une base et tout vecteur x s'écrit x = pa +qc +rd
et tu calcules f(x)

2/ a et b ne sont pas colinéaires et on pose c = a^b

alors (a, b, c) est une base et on écrit à nouveau x = pa +qb + rc et on calcule à nouveau f(x)

...