Sujet de mathématiques niveau L1 maths

[Melio]

Bonjour on a un problème de maths assez complexe et nous n'arrivons pas à débuter. Si quelqu'un a des idées ce serait bienvenu merci encore. Le problème est le suivant:
Soit k un nombre entier strictement positif. Etudier les suites définies par: u0 est un
nombre entier quelconque et U(n+1) est la somme des puissances k-ième des chiffres de Un.

[GaBuZoMeu]

Quelle est la question ? Dire dans quels cas il y a convergence ?

[Melio]

je pense qu'il faudrait d'abord exprimer Un+1 en fonction de Un ou Un en fonction de U0, pour ensuite pouvoir l'"étudier".

[GaBuZoMeu]

Mais tu as l'expression de en fonction de .

Peut-être faire quelques expérimentations pour savoir où on va ? Par paresse, j'écris mon code en SageMath. On peut sans aucun doute le réécrire en python.

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def suite(a,k,n) :
    L=[a]
    for i in range(n) :
        L.append(sum(c^k for c in L[-1].digits()))
    return L

Et on essaie :
suite(2019,1,10) : [2019, 12, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3]
suite(4,2,10) : [4, 16, 37, 58, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37]
suite(4,3,10) : [4, 64, 280, 520, 133, 55, 250, 133, 55, 250, 133]
suite(17,2,15) : [17, 50, 25, 29, 85, 89, 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145, 42]

Conjecture-t-on quelque chose ?

[Melio]

Merci pour votre réponse! Je n'arrive pas à sortir de l'énoncé une expression de Un+1 en fonction de Un.
De plus la suite semble cyclique avec vos essais on pourrait conjecturer que ces suites convergent mais vers quoi, je ne sais pas... merci

[Melio]

par exemple prenons U0=5 comment trouver U1 merci

[GaBuZoMeu]

Et k dans ton exemple, c'est quoi ? Tu aurais des difficultés à calculer la somme des puissances k-èmes des chiffres de 5 ?? Relis la définition de .

Bon, j'ai même poussé le dévouement jusqu'à écrire un code python :

Code: Tout sélectionner

def sum_pow_digits(n,k):
   r = 0
   while n:
       r, n = r + (n % 10)**k, n // 10
   return r

def boucle(a,k,n) :
    L=[a]
    for i in range(n) :
        suivant=sum_pow_digits(L[-1],k)
        if suivant in L :
            print("boucle")
            return
        else :
            L.append(suivant)
    print("ne boucle pas encore")

boucle(10**50-1,100,1000) : ne boucle pas encore
boucle(10**50-1,100,10000) : boucle

[GaBuZoMeu]

Sinon : une suite périodique à partir d'un certain rang ne converge pas ! (sauf si elle est stationnaire, c.-à-d. de période 1).

[tournesol]

On peut essayer une etude complete du k=2 .
On y rencontre une équation de cercle .
La divergence n'est à priori pas certaine car l'un des termes peut être une puissance de 10 .

[tournesol]

pour le k général on peut utiliser le nombre de chiffres de x=[1+log x] et majorer la somme par (1+log x)9^k

[Melio]

je n'ai pas vraiment compris le programme en python... Quelqu'un pourrait m'expliquer comment il fonctionne merci