Sujet ESC 1999

[handicapéeducalcul]

Soit n un entier naturel non nul.
Une urne Un contient n boules numérotées de 1 à n. On effectue dans cette urne une succession de tirages d’une boule, en appliquant la règle suivante : si une boule tirée porte le numéro k,avant de procéder au tirage suivant, on enlève de l’urne toutes les boules dont le numéro est supérieur ou égal à k.
On note X , la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour vider l’urne Un de toutes ses boules.


Quelqu'un pourrai m'expliquer comment trouver les lois de Xn et comment calculer leur espérance

[Ben314]

Si on note , la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour vider l’urne alors,
et, pour tout ,
(la première boule tirée est la boule et il faut tirage pour vider l'urne qui ne contient plus que les boules 1 à )
On en déduit que, pour , on a

c'est à dire

Si on note le polynôme générateur de , c'est à dire alors on a et la formule dit que et on en déduit (par récurrence) que
Cela permet d'avoir assez simplement l'espérance de qui est