Sujet DUT( Points critiques et pentes d'une fonction)

[Théo1234]

Bonjour, je suis en deuxième année d'un DUT génie mécanique et je dois rendre un DM pour la semaine prochaine.
Je dois étudier la fonction suivante : f(x,y) = (y−2)*y*e^(−x²)*x
Pour la première partie, je dois déterminer les points critiques exact de f ainsi que leur nature dans le domaine x ∈ [−π,π],y ∈ [−π,π]
Je trouve 3 points critiques en x=racine(2)/2 ; y=1 (point minimum) ou x=0 ; y=2 (point col) ou x=0 ; y=0 (point col)
J'aimerais savoir si je suis parti dans la bonne direction pour le moment?

Pour la partie 2 on demande quelle est la direction de la pente minimale qu’on note →∆'
Je trouve ∆0x=1.813957 et ∆0y=0.258651 mais je ne suis pas sûr de moi.

Pour la suite :
La vache (dans l'énoncé, nous avons une vache dessinée sur la représentation de la fonction mais je n'arrive malheureusement pas à insérer d'images) a des pas fixés à 0.01 c’est à dire que la direction ∆' est la bonne mais la norme de ∆' ne vaut pas 0.1 . Donc on cherche un déplacement horizontal ∆0 qui a la même direction que ∆' mais sa norme vaut 0.01. Pour résoudre ce problème d’une manière générale, on pose ∆' ={a b} et on veut trouver le vecteur ∆0 ={x y} qui soit colinéaire a` ∆' mais avec une norme de ∆0 égale à 0.01. Il faut calculer les relations donnant x,y en fonction de a et b dans le cas général.
Ici je suis bloqué, je ne vois pas comment résoudre cette question. Pouvez-vous m'aiguiller?
Merci par avance pour vos conseils.

[GaBuZoMeu]

Moi, je vois quatre points critiques. Quelles sont le racines de ?

Peux-tu donner plus précisément l'énoncé de la partie 2 ?

[Théo1234]

Je crois que j'ai enfin compris comment poster des images alors voici le sujet complet :




Pour ce qui est des points critiques je n'en trouve que 3 pour ma part en utilisant une technique vue brièvement en cours qui consiste à faire les dérivées partielle suivant x et y , puis de chercher les valeurs de x et y pour lesquels ces valeurs valent 0.
Je trouve que la dérivée partielle suivant x vaut e^(-x²)*(y-2)*y-2*e^(-x²)*x²*(y-2)*y
et la dérivée partielle suivant y vaut e^(-x²)*x*(y-2)+e^(-x²)*x*y

[GaBuZoMeu]

Je répète : tu as le facteur dans la dérivée partielle par rapport à . Pour quelles valeurs de ce facteur s'annule-t-il ? Tu en as oublié une !!!

[Théo1234]

Effectivement, je viens de refaire les calculs et je trouve que ce facteur s'annule en x=racine(2)/2 et en x=-racine(2)/2
Il y a donc 4 points critiques en x=-racine(2)/2 et y=1 ;en x=racine(2)/2 et y=1 ;en x=0 et y=2 ;en x=0 et y=0
Trouvez-vous la même chose ?

[GaBuZoMeu]

OK, tu as compris et corrigé ton erreur.

Mais ton sujet est toujours invisible. Écris-le.

[Théo1234]

Pour voir les images, il faut faire clic droit dessus et ouvrir l'image

[GaBuZoMeu]

Non, il n'y a aucun lien dans ton message !

[Théo1234]

Le logo avec Image écrit à coté n'apparaît pas ?

[Théo1234]

http://myreader.toile-libre.org/Sujetmathspointscritiquesetpentes.pdf

[GaBuZoMeu]

Ton texte m'est inaccessible (là où je suis, la connexion est très lente).

[Théo1234]

Nous avons la fonction suivante : f(x,y) = (y−2)ye−x2x (1)

Partie I
1. lire et faire le tutorial sur le logiciel Gnuplot et son utilisation en ligne. Tracer la surface de votre fonction f(x,y) dans le domaine x ∈ [−π,π] et y ∈ [π,π] a` l’aide de Gnuplot. Mettre le tracer dans le document avec les graphiques.
2. quel sont les points critiques exact de f ainsi que leur nature dans le domaine x ∈ [−π,π],y ∈ [−π,π]? si vous avez un cos(2.x) et/ou sin(2.x) dans la fonction f(x,y) alors vous étudirez les points fixes dans x ∈ [0,π],y ∈ [π,π]

Partie II
Algorithme des iso-valeurs à 2 variables
Cet algorithme permet de trouver les lignes d’iso-valeur (ligne qui reste à la même altitude) d’une fonction à plusieurs variable. Le principe est simple : en un point A0, une vache ”calcul” la pente minimale (ou nulle) c’est à dire qui reste à plat et elle fait un pas \vect{∆0} suivant cette direction pour arriver au point A1. Au point A1, puis elle recommence l’opération : calcul de la pente nulle et faire un pas pour arriver au point A2. Petit `a petit (A0,A1,A2,A3,...) elle ”trace” la ligne d’iso-valeur qui reste toujours à la même altitude.
• On formalise : partant d’un point A0 sur la surface f(x,y) , on souhaiterai emprunter la pente minimale (ou nulle) mais avec une longueur de pas constant de 0.01m. Ainsi à chaque pas, on construit un nouveau point et un vecteur de déplacement : on aura successivement les points A0,A1,A2,A3.... et les vecteurs déplacements horizontaux → \vect{∆0},→ \vect{∆1},→ \vect{∆2},→ \vect{∆3}.....

• Pour construire le chemin, répondre aux questions suivantes :

1. dans le cas d’une pente nulle ou minimum à quoi est égale ∆f ?

2.Etape 0 : on commence par se placer au point A0 \begin{vmatrix} XO=−0.395398 \\ Y0 = −0.200000\ f(X0,Y0)\end{vmatrix}
Quelle est la direction de plus pente minimale qu’on note →\vect{∆0} = \begin{vmatrix} ∆0 x \\ ∆0 y\end{vmatrix} ?

3. La vache a des pas fixé à 0.01 c’est à dire que la direction \vect{∆'} est la bonne mais la norme de \vect{∆'} ne vaut pas 0.1. Donc on cherche un déplacement horizontal \vect{∆0} qui a la même direction que \vect{∆'} mais sa norme vaut |\vect{∆0}| = 0.01 . Pour résoudre ce problème d’une manière générale, on pose \vect{∆'} = et on veut trouver le vecteur \vect{∆0} =\begin{vmatrix} x \\ y \end{vmatrix} qui soit colinéaire à \vect{∆'} mais avec une norme de |\vect{∆0}| = 0.01. Calculer les relations donnant x,y en fonction de a et b dans le cas général.

4. Avec les valeurs numériques de la question 2), calculer le vecteur déplacement → \vect {∆0} qui a la même direction que → \vect{∆'} mais qui a une norme de 0.01 : → \vect{∆0} est le vecteur déplacement avec une pente minimale et une norme de 0.01.

5. Etape 1 : comme on connaît le déplacement→ \vect{∆0} qui permet d’avoir un déplacement vertical maximum, alors on se place au point : A1 = \begin{vmatrix} X1 = X0 + ∆0 x \\ Y1 = Y0 + ∆0 y \\ f(X1,Y1) = f(X0 + ∆0 x,Y0 + ∆0 y)\end{vmatrix} quel est vecteur déplacement de pente minimal qu’on note → \vect{∆1} =\begin{vmatrix} ∆1 x \\ ∆1 y \end{vmatrix} et tel que |\vect{∆1}| = 0.01 ?

[GaBuZoMeu]

Merci d'avoir recopié l'énoncé. Une petite remarque : pour faire apparaître correctement le code LaTeX, utiliser les balises tex de la fenêtre d'édition de message.

Qu'est-ce exactement qui te pose problème ? En tout point qui n'est pas un point critique, il y a exactement une direction le long de laquelle la dérivée de est nulle. Au point , cette direction est la direction orthogonale au gradient .

Tu as des difficultés pour, partant d'un vecteur , calculer le scalaire tel que la norme de soit égale à 1/100 ?

[Théo1234]

Oui c'est ça,
je trouve que \vect{∆'} = ce qui donne une norme de 1.439656
La norme de \vect{∆0} vaudra donc 0.006946 (∆0 représente )
Est-ce que c'est bien ça (je ne suis pas sûr de moi) ?

[GaBuZoMeu]

Je n'ai pas vérifié tes calculs mais j'ai une première réaction : un vecteur dont une des coordonnées dans une base orthonormée est 1.813... ne peut pas avoir une norme de seulement 1.439...

[Théo1234]

Effectivement, j'ai oublié les carré dans la racine, j'ai en réalité une norme de 1.832305 et donc un lambda de 0.004576

[GaBuZoMeu]

J'ai fait faire les calculs à mon esclave électronique (SageMath), et il ne trouve pas la même chose que toi.

Code: Tout sélectionner

x,y=var('x,y')
f(x,y)=y*(y-2)*x*exp(-x^2)

x0=-0.395398 ; y0=-0.200000
Grad=(f.gradient())(x0,y0)
Tanniv=vector([-Grad[1],Grad[0]])

N=Tanniv.norm()
Pas=(1/(100*N))*Tanniv

Code: Tout sélectionner

print "Vecteur dirigeant la tangente à la ligne de niveau :\n", Tanniv
print "Pas :",Pas

Vecteur dirigeant la tangente à la ligne de niveau :
(-0.811611690007821, 0.258651364883284)
Pas : (-0.00952786177276010, 0.00303642059655390)

[Théo1234]

Je trouve bien le même vecteur dirigeant la tangente (-0.811611690007821, 0.258651364883284) (j'avais fais une erreur en tapant la formule).
Je ne vois pas bien comment vous trouver le pas, pouvez vous me donner la formule que vous utilisez ?

[GaBuZoMeu]

Elle est dans le code.

Code: Tout sélectionner

    N=Tanniv.norm()
    Pas=(1/(100*N))*Tanniv

[Théo1234]

D'accord merci pour votre aide, je reviendrais vers vous si j'ai d'autres difficultés