Suites et valheurs d'adhérance

[Baby Dear]

Salut,

En faite je galère sur un exercice de maths et j'aurais besoin d'un peu d'aide.

Donc on considère deux suites réelles, (Un) et (Vn), n appartenant à l'ensemble des entiers naturels, telles que la limite de Un+Vn en plus l'infini est nulle et la limite de exp(Un)+exp(Vn) en plus l'infini est 2. On nous demande de montrer que (Un) et (Vn) convergent. En faite cette exercice fait parti des exos sur la valheur d'adhérance mais je ne vois pas du tout le rapport....

Merci d'avance.

[fahr451]

bonsoir


u et v sont bornées

on peut extraire des sous suites convergentes

la limite est forcément nulle

conclusion l'unique valeur d'adhérence des suites bornées est zéro

ces deux suites convergent donc vers 0

[Baby Dear]

Je ne comprends pas pourquoi Un et Vn sont forcément bornées et pourquoi les sous suites qu'on peut en extraire sont de limite nul.

[fahr451]

exp (un)=< 2 donc u n =< ln (2) et u est majorée idem pour v

si l 'une des deux disons u n 'était pas minorée on pourrait en extraire une sous suite de limite -infini et alors la sous suite correspondante de u+v tendrait aussi vers -infini et non vers 0

[Baby Dear]

mais rien nous dit que Un est minorée.....

[fahr451]

exp (un)=< 2 donc u n =< ln (2) et u est majorée idem pour v

si l 'une des deux disons u n 'était pas minorée on pourrait en extraire une sous suite de limite -infini et alors la sous suite correspondante de u+v tendrait aussi vers -infini et non vers 0

ceci exactement nous le dit

[Baby Dear]

Re salut

J'ai compris maintenant pourquoi Un et Vn sont bornées. On peut alors utiliser Bolzano Weirstrass pour dire que chaque suite admet au moins une valeur d'adhérance. Parcontre comment savoir que cette valeur d'adhérance est nulle? Et comment conclure que Un et Vn convergent vers la valeur d'adhérance?

Merci d'avance.

[Baby Dear]

Est ce que pour montrer que la valeur d'adhérence est nulle je dois faire un encadrement de la suite extraite ou pas? Parce que je n'arrive tjs pas à montrer que cette valeur d'ahérance est nulle...

Merci d'avance.

[fahr451]

on extrait de u une suite extraite u phi(n) de limite L

puisque u+v->0

vphi(n) ->-L et

exp (u(phi(n) ) + exp(vphi(n)) -> exp(L) +exp (-L) = 2

donc L = 0

toute valeur d'adhérence de u est donc nulle

donc u bornée tend vers 0 sinon on pourrait trouver epsilon0 >0

et une infinité d'indices n avec l u n l > epsilon0 et de cette sous suite bornée (u l'étant) extraire une sous sous suite de limite L
vérifiant
|L |>= epsilon0 absurde