Suites

[bougie20]

Bonsoir tout le monde!
Voila j'aimerai qu'on m'aide pour un exercice, ça fait deux jours que je réfléchie dessus mais je sèche réelement:

" Montrer que l'équation exp^x=x + 3 admet une unique solution positive que l'on notera a. Montrer que 1On considère la suite( Un) définie pour U0=1 et pour tout n dans N, Un+1=ln(Un+3).
Montrer par réccurence que l'on a pour tout n dans N, 1<=UnMontrer que pour tout n dans N on a |Un+1 - a|<= 1/4 |Un - a|.
En déduire que la suite (Un) converge vers a et donner une valeur approchée de a à 10^-1 près."

Merci !

[fatal_error]

Bonjour(^^),
premiere question : tu poses f(x) = e^x-x-3 et tu etudies la fonction.
troisieme question : tu poses ta récurrence, et tu obtiens un encadrement de un+1.Pour le terme qui majore, tu utilises l'étude de la fonction que tu as faite. (Le a est la racine que tu as trouvé.)
quatrième question :
dernière question : tu pars du rang n, et tu utilises la relation trouvée précédemment, et tu descend jusqu'au rang un. Tu utilises ensuite la regle du (1/4)^n ->0 car -1<1/4<1 avec n tend vers linfini.

Pour la quatrieme (avec les valeurs absolues), j'ai une petite idée, mais je ne sais pas si elle est juste...donc je la poste, en espérant qu'on me dise si j'ai tort!

on fait une récurrence, et on suppose Pn vrai au rang n.
On part de Pn, et on s'intéresse au terme le plus grand. On sait que (un) est positif et a aussi. on peut donc ajouter des termes positifs dans les deux membrse de l'inéquation :
|(un)-a|<1/4|(un-1)-a|
on ajoute 3 de chaque coté
|(un)+3-a|<1/4|(un-1)+3/4-a|
on majore un+3/4 par un+3 (pour passer au ln)
|(un+1)-a|<1/4|(un)-a|
Ce qu'il me semble foireux, c'est le coefficient 1/4 notamment avec le a, mais bon, j'imagine qu'on doit pouvoir y arriver dans ce sens? :bad:

[bougie20]

merci de tout ça mais je bloque encore...lol est-ce que tu pourrais plus détailelr tes pensées parce que je vois toujours pas comment faire :hum:

[gomaths]

Bonjour
Pour la question du valeur absolue on peut utiliser le théorème des accroissements finies sur ]1,a[ : f(Un)-f(a)=(Un-a)f’(c) avec c appartient à ]Un,a[ et f(x)=ln(x+3)
F(Un)=Un+1 et f(a)=a donc Un+1 –a = (Un-a).(1/c+3) on a c appartient aussi à [1,2]
Donc en encadrant f’(c) on aura abs(Un+1-a)<=(1/4)abs(Un-a)
Bonne journée

[bougie20]

Ahh merci c'est gentil ! en tout cas bravo...