Suites

[florian36]

Bonjour,

J'ai commencé à faire des Maths depuis peu et je m'intéresse actuellement aux suites avec cet exercice.

Soit (un) la suite définie par u0=1 et pour tout entier naturel n.

1)Trouver deux nombres réels et et b tels que

Je tente de résoudre mais ça ne doit pas être la bonne métohde...

2) Montrer que

Je fais une récurrence après encadrement je trouve que 4<3un+4<17/2 et 1/6< 1/(2un+3)<1/3 je multiplie les inégalités et je trouve donc 2/3<3un+4/2un+3<17/12 bien compris en 0 et 3/2.

3)Montrer que

Pas eu de difficultés pour cet question.

4)Montrer que le nombre réel vérifie 0<c<1

et comme 2racine d 2 sur 3 est inférieur à 1, on le montrer en élévant au carré on on déduire que c est compris entre 0 et 1.

5) Montrer que

J'arrive à Comment montrer une inégalité de ce type ?

Je vous remercie
Cordialement

[Luc]

Bonjour florian,

pour 1), on peut reformuler la question ainsi : trouver a et b réels tels que

On dit que l'on a décomposé la fraction rationnelle (quotient de deux polynômes) en éléments simples.


Pour trouver a et b qui conviennent, soit tu fais "à la main" la division euclidienne des deux polynômes, soit tu pars de l'expression en éléments simples , tu mets au même dénominateur et tu identifies les coefficients, ce qui te donne un système linéaire à résoudre.


Luc

[florian36]

Bonjour florian,

pour 1), on peut reformuler la question ainsi : trouver a et b réels tels que

On dit que l'on a décomposé la fraction rationnelle (quotient de deux polynômes) en éléments simples.


Pour trouver a et b qui conviennent, soit tu fais "à la main" la division euclidienne des deux polynômes, soit tu pars de l'expression en éléments simples , tu mets au même dénominateur et tu identifies les coefficients, ce qui te donne un système linéaire à résoudre.


Luc

Merci pour votre réponse je trouve a=3/2 et b=-1/2. Pourriez-vous me dire si les 2) et 4) sont correctes et la démarche à suivre pour la 5) ?

[arnaud32]

utilises le 2/ donc , le passage a l'inverse change le sens ...

[Luc]

Merci pour votre réponse je trouve a=3/2 et b=-1/2. Pourriez-vous me dire si les 2) et 4) sont correctes et la démarche à suivre pour la 5) ?

Pour 2), effectivement il s'agit d'une preuve par récurrence, puisque la suite est définie par récurrence.
Quelle est l'hypothèse de récurrence (la propriété que tu veux montrer)?
Je te rappelle la démarche en trois étapes: Initialisation, Hérédité, Conclusion.

Pour 4), tu as seulement montré c0 (pas dur).

Pour 5), quand tu écris "J'arrive à ", c'est ce que tu as montré ou ce que tu veux montrer?
Vu la suite, je suppose que c'est ce que tu veux montrer. Il y a des facteurs qui se simplifient, si tu raisonnes par équivalences, cette inégalité est équivalente à une inégalité portant sur . En fait, on préfère partir de ce qu'on connait sur et en déduire l'inégalité 5). Cette inégalité signifie que la suite se rapproche de plus en plus de (car 0<c<1), le nombre c représentant la "vitesse" de convergence de la suite.

[florian36]

Merci pour vos réponses :

Pour la récurrence je ne comprends je fais bien attention aux changement d'inégalités et j'arrive pourtant à :
[TEX]u_n>0 \\
3u_n+4>4 \\
-----\\
u_n>0\\
\frac{1}{2u_n+3} 3/2...

Pour l'initialisation j'ai pris u0 1 vérifie la propriété Pn : 0<un<3/2 et on souhaite montrer 0<u_n+1<3/2

Pour la 4) j'ai compris

5) Oui c'est ce que je veux montrer j'ai remplacer les valeurs connues (c notamment) et j'arrive à cet inégalité. Malgré vos explications je n'arrive pas à avancer davantage...

Merci

[florian36]

Pour la dernière question j'ai finalement trouvé ceci :



Est-ce correct ? Pour la récurrence par contre je ne comprend toujours pas

[Sa Majesté]

Salut

Pour la dernière question j'ai finalement trouvé ceci :



Est-ce correct ?

Oui et comme tu sais que tu peux remonter à l'inégalité que tu cherches à montrer

Pour la récurrence par contre je ne comprend toujours pas

Pour la récurrence, il ne faut pas utiliser mais

Ça donne un encadrement beaucoup plus précis.