Suites

[xNiicO]

Bonjour,

Je sèche sur un exercice assez lourdement.

Concernant l'énoncé :

,

On sait que et soit la suite de nombres réels et elle est définie par .

1. Prouver :
FAIT

2. Prouver que avec et prouver aussi que la suite est décroissante.

Cette question me pose soucis, je voudrais prouver par récurrence que mais n'arrive pas, il me manque des éléments pour faire une bonne preuve par récurrence.

3. Déduire que cette suite est convergente puis déterminer sa limite.
Je pense pas avoir de soucis de ce côté là.

4. Grâce à la relation suivante : , donner une majoration de en fonction de

Je n'ai pas compris la question en fait, c'est le terme majoration qui me pose problème.

5. Si et pour , prouver la relation suivante :

c'est bien

6. Application : Calculer avec une précision de 8 chiffres après la virgule, en prenant

[fatal_error]

hello,

pour 2) j'ai envie de poser f(x)=1/2(x+a/x)
ou x ca représente Un, puis on cherche le minimum de f, et avec un peu de chance, ca veut dire que qqsoit x on va trouver f(x)>=sqrt(a) !
idem qq soit le nombre de fois qu'on va itérer la suite un, ba on sera toujours supérieur à sqrt(a)

[Tiruxa]

Bonsoir,

Se servir du résultat du 1° :



Le second membre est positif pour tout entier n

donc positif pour tout entier n, cela conduit au résultat (on pourra justifier cependant que la suite U est positive).

Au besoin on peut poser n' = n+1, on a alors:
pour tout entier n' supérieur à 1, supérieur à .

[xNiicO]

hello,

pour 2) j'ai envie de poser f(x)=1/2(x+a/x)
ou x ca représente Un, puis on cherche le minimum de f, et avec un peu de chance, ca veut dire que qqsoit x on va trouver f(x)>=sqrt(a) !
idem qq soit le nombre de fois qu'on va itérer la suite un, ba on sera toujours supérieur à sqrt(a)

J'ai pu remarquer quelque chose, on sait que pour tout n,
Donc si alors

EDIT : J'ai trouvé.

Maintenant j'ai trouvé quelque chose de plus, je sais pas si c'est bon mais sa m'a l'air juste.



donc et encore alors
La suite est donc décroissante.

[xNiicO]

Si quelqu'un peut m'expliquer le principe de la question 4. le coup de la majoration me bloque, je pense que c'est la seule question qui me pose problème et voyant l'exercice je pense qu'il faut la 4 pour faire la 5 :p

[fatal_error]

pour la 4 je serais bien bourrin
de la relation ,
on isole
puis dans le membre de droite, on essaie de tout mettre en fonction de Un et sqrt(a)
genre
et

avec un peu de chance (forcée), on va réussie à mettre u_n-sqrt(a) en facteur d'un autre truc qu'on peut majorer

le risque c'est de pas arriver à factoriser, mais bon, espoir..

[xNiicO]

C'est bon en fait on m'a un petit peu aiguiller et j'ai tout fini. j'ai un peu galéré sur la majoration mais en regardant des exemples sur internet j'ai compris où ils voulaient en venir.