Suites&séries

[sad13]

Bonsoir, soit Un la suite définie pour tout n entier naturel par Un= racine carrée(n+1)- racine carrée(n)

On montre facilement que pour tout n>=0, Un>0.

*) je dois montrer que (Un) est décroissante (je bloque)

**) on en déduit qu'elle est bornée car majorée par 1 et minorée par 0
***) on doit conjecturer sa limite: elle est décroissante et minorée donc elle converge vers la borne inf de l'ensemble de ses valeurs donc je dirais"0"

****) pour tout n>=0, Sn=U0+U1+......+Un

1/Etudier la monotonie de la suite Sn: elle est croissante

2/ Conjecturer sa limite : je bloque


merci d'avance

[Pythales]

Bonsoir, soit Un la suite définie pour tout n entier naturel par Un= racine carrée(n+1)- racine carrée(n)

On montre facilement que pour tout n>=0, Un>0.

*) je dois montrer que (Un) est décroissante (je bloque)

**) on en déduit qu'elle est bornée car majorée par 1 et minorée par 0
***) on doit conjecturer sa limite: elle est décroissante et minorée donc elle converge vers la borne inf de l'ensemble de ses valeurs donc je dirais"0"

****) pour tout n>=0, Sn=U0+U1+......+Un

1/Etudier la monotonie de la suite Sn: elle est croissante

2/ Conjecturer sa limite : je bloque


merci d'avance

[galadri]

Ca se voit assez facilement:
Sqrt(2)-Sqrt(1)
compare ça à:
Sqrt(1000)-Sqrt(999).

Sache que la limite de x quand x tends vers l'infine est la même que celle que quand x+1 tends vers l'infini.
Donc lim x->infini de Sqrt(x+1)-Sqrt(x)=0 donc la suite est décroissante. (tu peux aussi multiplié par le conjugué, c'est probablement ça ce que ton prof voulais;))
Elle est donc minoré par 0.
Majoré par 1 car Sqrt(1)-Sqrt(0)=1-0=1

biensur que Sn est croissant car on lui ajoute constament des valeur entre 1 et 0 donc pas negatif!

Pour sa limite c'est simple:
regarde ça:
(Sqrt[1]-Sqrt[0])+(Sqrt[2]-Sqrt[1])+...+(Sqrt[n+1]-Sqrt[n])
Tu vois?
(T'as vu la somme telescopique?)
Si non ben regarde et tu vois que tout s'annule sauf le Sqrt[n+1]
Donc ça tends vers Sqrt[x+1]

T'as des questions?

[Le_chat]

Pour la décroissance, si tu connais la notion, tu peux dire que la fonction est strictement concave, et donc par l'inégalité des pentes: décroit, en dérivant.

[sad13]

oui merci beaucoup; en gros Un->0 et Sn-> racine (n+1) (qui tend vers + l'infini quand tend vers l'infini)

Seul souci , c 'est comment montrer la décroissance de Un: car vous et pythales, vous semblez ne pas avoir lu la déf de Un

Un= racine carrée(n+1)- racine carrée(n) donc Un+1-Un= racine carrée(n+2)-racine carrée(n+1)-racine carrée(n+1)- racine carrée(n)

[Le_chat]

oui merci beaucoup; en gros Un->0 et Sn-> racine (n+1) (qui tend vers + l'infini quand tend vers l'infini)

Seul souci , c 'est comment montrer la décroissance de Un: car vous et pythales, vous semblez ne pas avoir lu la déf de Un

Un= racine carrée(n+1)- racine carrée(n) donc Un+1-Un= racine carrée(n+2)-racine carrée(n+1)-racine carrée(n+1)- racine carrée(n)

Et attentions, non Sn ne tend pas vers racine(n+1), mais Sn=racine(n+1),qui tend vers l'infini.

[sad13]

Oui merci beaucoup;