[MPSI] Suites réelles

[Anonyme]

Comment démontrer qu'une suite croissante admettant une suite extraite
convergente est convergente ?

Merci

[Anonyme]

Ramier a écrit:
> Comment démontrer qu'une suite croissante admettant une suite extraite
> convergente est convergente ?
>
> Merci

Je propose une petite démo, je sais pas ce qu'elle vaut (et en plus c
pas forcément clarifié par le format texte) :

tout d'abord si u est croissante et majorée elle converge clairement,
donc on se place dans le cas où elle n'est pas majorée. Par décalage
d'indice on peut alors se ramener au cas où u(0) est positif ou nul.
soit u(phi(n)) la suite extraite. phi est bien entendu une application
strictement croissante de N dans N.

(1) u(phi(n)) converge il existe L0, tq pr tout e > 0, il existe
un N, tq pr tout n > N, abs((u(phi(n)) - L) = u diverge pr tout L, il existe e > 0, pour tout N > 0, il
existe n, n > N et abs(u(n) -L) > e
En particulier pour L = L0, il existe e0, tq...

je reprends dans (1) : pour L0 et e0, il existe N0, tq pour tout n > N0,
abs(u(phi(n)) - L0) = N0 et abs(u(n0) -L) > e0

maintenant dans 1, comme phi est une fonction croissante de N dans N,
pour tout n, phi(n) >=n. On suppose de plus que il existe n1 tq phi(n1)
> n1 (sinon le problème est trivial).

On reprend dans (1) pour n > max(n0,n1). On a alors abs(u(phi(n)) - L) >
abs(u(n) -L) > abs(u(n0) -L) (car phi et u croissantes et car u
positive) > e0. Contradiction.

j'ai bon ?

--
albert

[Anonyme]

"Ramier" a écrit dans le message de news:
416d4bee$0$5230$626a14ce@news.free.fr...
> Comment démontrer qu'une suite croissante admettant une suite extraite
> convergente est convergente ?
>
> Merci
Remarquer que la limite de la suite extraite majore la suite initiale.
Cordialement. JPE

[Anonyme]

je confirme albert
c'est bon
ramier coup de stress avan la kholle?
"albert junior" a écrit dans le message
de news: 416D54C2.10007@hotmail.com...
> Ramier a écrit:[color=green]
>> Comment démontrer qu'une suite croissante admettant une suite extraite
>> convergente est convergente ?
>>
>> Merci
>
> Je propose une petite démo, je sais pas ce qu'elle vaut (et en plus c pas
> forcément clarifié par le format texte) :
>
> tout d'abord si u est croissante et majorée elle converge clairement,
> donc on se place dans le cas où elle n'est pas majorée. Par décalage
> d'indice on peut alors se ramener au cas où u(0) est positif ou nul.
> soit u(phi(n)) la suite extraite. phi est bien entendu une application
> strictement croissante de N dans N.
>
> (1) u(phi(n)) converge il existe L0, tq pr tout e > 0, il existe
> un N, tq pr tout n > N, abs((u(phi(n)) - L) =
> (2) u diverge pr tout L, il existe e > 0, pour tout N > 0, il
> existe n, n > N et abs(u(n) -L) > e
> En particulier pour L = L0, il existe e0, tq...
>
> je reprends dans (1) : pour L0 et e0, il existe N0, tq pour tout n > N0,
> abs(u(phi(n)) - L0) =
> je reprends dans (2) : pour L0, il existe e0, tq en particulier pour N0,
> il existe n0 tq n0 > N0 et abs(u(n0) -L) > e0
>
> maintenant dans 1, comme phi est une fonction croissante de N dans N, pour
> tout n, phi(n) >=n. On suppose de plus que il existe n1 tq phi(n1)
> > n1 (sinon le problème est trivial).
>
> On reprend dans (1) pour n > max(n0,n1). On a alors abs(u(phi(n)) - L) >
> abs(u(n) -L) > abs(u(n0) -L) (car phi et u croissantes et car u positive)
> > e0. Contradiction.
>
> j'ai bon ?
>
> --
> albert
>[/color]

[Anonyme]

on peut d'ailleurs etendre la démo a toute suite monotone
"jean-pierre.ehrmann" a écrit dans le
message de news: 416d5df9$0$28829$8fcfb975@news.wanadoo.fr...
>
> "Ramier" a écrit dans le message de news:
> 416d4bee$0$5230$626a14ce@news.free.fr...[color=green]
>> Comment démontrer qu'une suite croissante admettant une suite extraite
>> convergente est convergente ?
>>
>> Merci
> Remarquer que la limite de la suite extraite majore la suite initiale.
> Cordialement. JPE
>[/color]

[Anonyme]

une suite croissante n'a pas bcp de choix ou bien elle est bornée ou bien elle
n'est pas bornée.
Une fois ce fait etabli il est evident que si une soussuite converge la suite
initiale est bornee or une suite croissante et bornee converge!