Suites/Récurrences BCPST 1ère année

[Vegely]

Bonsoir à tous
J'ai en main un DM dont je n'arrive pas à me depatouyer. J'ai eu beau essayer de retourner le problème dans tous les sens, je ne trouve aucune solution, voilà pourquoi je demande votre aide. Voilà un des deux sujets dont je n'arrive pas à me sortir :

"On consièdre les suites (Un) et (Vn) définies par :
2/(Un+1) = (1/Un) + (1/Vn)
Vn+1 = (Un+Vn)/2
U0=1 et V0=2"

1)Démontrer que pour tout entier n de N Un< ou = Vn

J'ai essayer une récurrence simple, masi je n'arrive qu'a Un<0

2) Déterminer les sens de variations des suites (Un) et (Vn)

Je suis arriver a un résultat qui me demande d'avoir les signes de Un et Vn pour conclure

3) Justifier que ces deux suites sont convergentes et qu'elles ont meme limites L

Je pense qu'une des deux est croissante, et l'autre décroissante. Ensuite, je suppose que je dois montrer qu'elles sont bornées, mais je suis là encore bloqué

4) Déterminer L

Dès que j'essaye de trouver la limite d'une des deux suites, je susi bloqué par le fait que je n'arrive pas à déterminer clairement ces deux suites

Voilà où je bloque.

Merci par avance de vos réponses.

[come]

il faut deja que tu commences par changer ton expression de un+1 pour avoir un+1=...
ensuite réessaye ta récurrence et tu ne peux pas dire que un<0 car u0=1
bonne chance

[Vegely]

Merci pour ce conseil. J'ai changer l'écriture de Un+1 et j'ai pu répondre assez facilement aux deux premières questions !!
Cependant, je n'arrive pas à trouver une réponse satisfaisante à la "ème question :
Je sais maintenant que Un est croissante et que Vn est décroissante et que ces deux suites sont positives.
Je pense que je dois à la fois utilisé le fait que la suite croissante est inférieur à la suite décroissante mais je ne vois pas vraiment comment. J'ai essayé de trouver la limite d'une des deux suites, mais elle dépend forcement de la llimite de l'autre. Je ne vois plus par où prendre le problème.