Suites majorées

[exilim]

Bonjour!
je dois montrer que les suites de termes généraux :

sont majorées pour ensuite montrer qu'elles convergent...
Instinctivement, je dirais que (un) et (vn) sont majorées par 2, mais je n'arrive pas a le démontrer rigoureusement : faut-il faire une récurrence, un encadrement,... ???
merci

[Anonyme]

la somme des 1/k² est majorée par Pi²/6 mais la démonstration est difficile et je ne m'en rappelle plus..mais Rain a raison, normalement cette suite est la base de tout, elle converge, c'est un résultat que tu dois avoir dans le cours.. Sinon pour la suite 1/(2k+1)² il faut simplement remarquer que c'est la somme des termes impairs donc c'est la différence entre les les somme de tous les nombres et la somme des nombres pairs : 1/(2k+1)² = 1/k² - 1/(2k)²
donc tu sais que la première suite converge et par analogie la deuxième converge aussi donc la différence converge..mais ce qui est des majoration je ne m'en rappelle plus..

[grabote]

1/k² est décroissante donc

1/k² <= intégrale de k à (k+1) de dt/t²

et ensuite tu somme

[yos]

Par récurrence :
A noter que si on met 2 à la place de 2-1/n (ce qui est moins fort), la récurrence ne marche pas. On a fréquemment cette situation avec les récurrences.

[fahr451]

ou encore

1/k^2 =< 1/(k(k-1)) = 1/(k-1) -1/k (pour k>1) puis télescopage