Suites ECE dernière question

[damien]

salut
voici un exo que je n'ai pas terminé. je vous demande juste de l'aide pour la dernière question. je vous donne toutes les données précédentes, pas besoin de les vérifier sinon ce serait trop long.

on a u0 E [0,1] et: Vn E N, un+1=(1-un)².
on a f(x)=(1-x)².

a) etudier les variations de f.
f décroissante sur ]-oo;1] et croissante sur ]1;+oo[
b) montrer que f(x)=x admet deux solutions alpha et beta telles que 0<alpha<1<beta.
alpha=(3-rac.5)/2
beta)=(3+rac.5)/2

c)on suppose u0=alpha
que dire de u?
u est constante de terme alpha.

d)on suppose u0=1/2
faire une représentation graphique des termes de u.

dans la suite de l'exo on se propose de démontrer que si u0E[0,1]-{alpha}, alors u diverge.
d)i) résoudre f(f(x))-x=0.
S={0;1;alpha;beta}

ii)en déduire que pour tt entier naturel n, on a:
un+2-un=un(un-1)(un-alpha)(un-beta).

iii)on suppose dans cette question que 0<=u0<=alpha.
montrer qu'on a 0<=u2n<=alpha pour tt nEN.
en déduire que la suite (u2n) est décroissante. quelle est sa limite?
lim(u2n)=0

déterminer le sens de variation et la lim de (u2n+1).
(u2n+1) est croissante.
lim(u2n+1)=1
Conclusion?

J'ai tout fait jusqu'ici. Voici la dernière question où j'éprouve bizarrement des difficultés. ce serait cool que qn me mette sur la voie?

iv) que se passe til pour les suites (u2n), (u2n+1) et (un) lorsque alpha<u0<=1?


merci bien.

[maxevans]

bonjour, tu as trouve que u2n------>0 et u2n+1----->1 tu ne trouve pas ça bizarre pour la suite u?

[yos]

iv) Par récurrence alphaU(2n+1)>=0

De plus ces deux suites sont monotones car définies à l'aide de fof qui est croissante.
Donc les deux suites convergent.
Leur limite est un point fixe de fof.

C'est alpha ou 1 pour U(2n) ; alpha ou 0 pour U(2n+1).

Trouve le sens de variation de ces deux suites, avec ii par exemple et tu auras tes deux limites.

C'est sûrement 1 pour U(2n) et 0 pour U(2n+1) , ce qui fait que U(n) diverge. A vérifier.

[damien]

ahhhhh oui.
je n'avais pas vu cela comme ça! je m'attendais a quelque chose de plus recherché en fait.

pour une fois que la question ne demandait rien de vraiment compliqué je passe à côté... :marteau:

en tout cas merci à vous.

adios!