Suites divergentes

[AceVentura]

Bonsoir,
j'ai une petite question. Une suite est divergente dans si elle ne converge pas dans . La question est de donner une condition pour qu'une suite soit divergente.
Je sais que si une suite converge vers un réel alors toutes suites extraites de converge vers . En prenant la contraposée de cette implication, on obtient que (c'est ici que je ne suis pas certain) : il existe deux suites extraites qui converge vers deux limites réels distinctes.

Cela est-il correct et connaissez-vous d'autres conditions ?
Merci par avance.

[Nightmare]

Salut,

la question est vachement vague quand même... Des conditions, on peut en donner pas mal, surtout si on ne se pose pas la question de savoir si on en veut une suffisante, nécessaire, ou les deux !

[AceVentura]

Une implication surtout, le sens direct. Cela me conviendrait amplement. En revanche, si une chose marche uniquement dans un sens, il me faudrait le contre-exemple qui va avec !
:)

[AceVentura]

Pas trop compliqué non plus ...

[Ben314]

Dans ce cas, on peut déjà dire que ta contraposée est juste, dans le sens :
S'il existe deux suites extraites qui C.V. vers des limites différentes alors le suite est divergente.
Par contre, ce n'est pas une équivalence du fait que, par exemple pour la suite Un=n, il n'y a aucune suite extraite convergente (donc il n'y a vraiment pas du tout "deux suites extraites qui C.V. vers des limites différentes") alors que la suite de départ est bien divergente.

[AceVentura]

Salut Ben, merci pour la confirmation !
1. Par contre, pour être vraiment précis, j'aurais rajouté : il existe au moins deux suites extraites qui converge vers deux limites réels distinctes. Qu'en dit-tu ? Même si c'est une remarque epsilonesque !

2. En revanche, peut-on conclure directement quelque chose si de la suite en question on trouve une sous-suite (ou plusieurs) qui diverge ?

3. On sait aussi que, si une suite converge dans , alors il existe M>0 tel que , à partir d'un certain rang. La contraposée marche aussi : si une suite n'est pas bornée, elle est divergente ?

[Mathusalem]

3. Oui elle l'est forcément, mais une suite bornée peut aussi être divergente, par exemple u_n = (-1)^n

En toute rigueur on dit qu'une suite est convergente vers L si :
> 0, N tel que , on ait tel que , tel que .

Les plus calés me corrigeront.
A+

PS: Je pense qu'il convient de mettre S'il existe L pour la convergence, et Pour tout L dans la divergence.

[AceVentura]

Avec le formalisme, on dira donc qu'une suite est divergente si ?

[Doraki]

Et ton n il est pas quantifié ?

La négation de "il existe l / un converge vers l" est :

pour tout l dans R il existe e > 0 tel que pour tout N dans N il existe n > N,
tel que |un - l|> e

[Nightmare]

Salut,

modulo le manquant devant le petit n, c'est juste. (Au passage, mathusalem a écrit "tel que" à la place de ton "et", ce n'est pas la même chose et c'est toi qui a raison, la négation de (A => B) étant (A et non B)

[AceVentura]

Ok, merci !
Pouvez-vous répondre à mes questions 1. et 2. dans mon message de 23h22 ?

[Nightmare]

1. Comme te l'a dit Ben, a priori une suite divergente peut n'avoir aucune sous-suite convergente, donc c'est un peu gênant d'énoncer qu'une suite divergente en a au moins deux... :lol3:

2. Etant donné qu'une suite convergente voit toute ses sous-suites converger (vers la même limite, qui est celle de la suite), si tu arrives à extraire d'une suite une sous-suite divergente, c'est donc qu'elle est elle même divergente.

[AceVentura]

Comment énoncerais-tu précisément qu'une suite est divergente avec les sous-suites ?

[Nightmare]

Par exemple : Une suite est divergente si elle n'admet aucune sous-suite bornée. (Car de toute suite convergente on peut extraire une sous-suite bornée - Bolzano Weierstrass - )

[Doraki]

Euh j'dirais plutot, qu'une suite est divergente si et seulement si

(il y a une sous-suite non bornée) ou
(il y a deux sous-suites qui convergent vers deux limites distinctes)

Par contre je crois pas que c'est vrai dans tous les espaces métriques.

[AceVentura]

Je sais plus trop comment faire ! Pouvez-vous dans un premier temps me confirmer que ceci est exact :

Toute suite non bornée est divergente ;
Toute suite ayant deux sous-suites qui convergent vers deux réels distincts diverge ;

?

[AceVentura]

Par contre, ce n'est pas une équivalence du fait que, par exemple pour la suite Un=n, il n'y a aucune suite extraite convergente

J'ai pas compris ceci en fait !

[Doraki]

Toute suite non bornée est divergente

Oui parceque toute souite convergente est bornée.

Toute suite ayant deux sous-suites qui convergent vers deux réels distincts diverge

Oui parceque toute suite convergente vers l a toutes ses suites extraites qui convergent aussi vers l.