Suites convergentes

[mwa_16]

Bonjour il y a un exercice que je n'arrive pas à résoudre est ce que quelqu'un pourrait m'aider? Merci d'avance

voici mon énoncé

Soit Un à valeurs dans [0,1] et vérifiant, pour tt n, U(n+1)*(1-Un)>=1/4
Montrer que cette suite converge et trouver sa limite.

[Nightmare]

Salut !

vu qu'on ne sait pas encore si la suite converge, on ne peut pas travailler avec sa limite, par contre, on peut travailler avec des valeurs d'adhérence ! En particulier, on pourrait montrer que la suite n'en admet qu'une seule (qui est évidemment notre limite).

[mwa_16]

Oui je pensais qu'il fallait partir comme ça mais je ne vois pas comment faire?

[skilveg]

Ca peut se faire sans utiliser de valeurs d'adhérence... Déjà, dessine le graphe de la fonction sur et regarde sa position par rapport à la première bissectrice. Dans quel intervalle doit rester pour rester bornée? Du coup, quel est le comportement de ?

[The Void]

-(1/4)(2l-1)^2 = l*(1-l)-1/4 <= 0, avec égalité ssi l = 1/2.

[girdav]

Bonjour.
On peut montrer qu'elle converge car elle est majorée et croissante:
donc on peut travailler sur la limite.