Suites convergentes et limites

[emonyna]

Bonjour !

Je viens d'arriver à la fac, et dès la première feuille d'exercices distribuée par le prof de maths, j'ai séché... principalement parce que je ne sais pas ce qui est attendu comme raisonnement.

Bref, dans le premier exercice qui me pose problème, il est demandé de démontrer les affirmations suivantes :
1) Si la suite de réels non nuls (un)n tend vers l'infini, alors la suite (vn)n définie par (vn) = 1/un tend vers 0.
2) Soit (un)n une suite de réels strictement positifs convergeant vers 0, alors la suite (vn)n définie par vn = 1/un tend vers +infini.
3) Soit (un)n une suite de réels admettant un nombre réel a pour limite. Soit (vn)n la suite définie par vn = un(-1)^n. Alors (vn)n est convergeant si et seulement si a = 0.

Je n'ai jamais appris à démontrer ça, ni au lycée ni à la fac. Ce sont des résultats qu'on nous donne pour acquis... Donc je ne sais pas démontrer ces points, je ne peux que les expliquer...
Par exemple, pour le 1), je peux expliquer que si on divise un réel fixe par quelque chose de plus en plus grand, positif ou négatif, le résultat de la division devient de plus en plus petit, donc proche de zéro. Mais c'est une explication qui fait appel au bon sens, pas une démonstration mathématique.

Donc est-ce que vous auriez des pistes pour construire des démonstrations ?

[leon1789]

Par exemple, pour le 1), je peux expliquer que si on divise un réel fixe par quelque chose de plus en plus grand, positif ou négatif, le résultat de la division devient de plus en plus petit, donc proche de zéro. Mais c'est une explication qui fait appel au bon sens, pas une démonstration mathématique.

Donc est-ce que vous auriez des pistes pour construire des démonstrations ?

Il faut exactement raconter ce que tu penses en utilisant la règle du (nouveau) jeu, c'est-à-dire ici la "vraie" définition de la limite des suites.

en utilisant (deux fois) la définition de la limite des suites,
(1) traduis l'hypothèse,
puis utilise ton bon sens (comme tu dis, tu as raison !)
(2) et retrouve la conslusion.