Suites complexes périodiques

[Alex0347]

Bonjour,

Ma fin de dm de maths pour ces vacances est assez corsée.

Sur une des dernières questions, je dois montrer qu’une suite à valeurs dans l’ensemble des complexes est n-périodique si et seulement si il existe des complexes notés C0, C1,…,Cn-1 tels que:
[img]http://latex.ilemaths.net/ile_TEX.cgi?Uk=\sum_{p=0}^{n-1}{Cp%20\omega^p^k}[/img]

Et il faut aussi montrer l'unicité des complexes C0,...,Cn-1.

En raisonnant par double-équivalence, il y a une implication qui est évidente: en supposant l'existence, la périodicité se montre juste en calculant Un+k.

En revanche, pour montrer que les complexes C0,...Cn-1 existent et sont uniques, en supposant que la suite est périodique, je ne vois pas comment procéder.

[azf]

Bonjour

L'image n'apparaît pas

la voici en traduction directe

[mathelot]

ça ne serait pas plutôt

[azf]

oui pardon

[azf]

...et je suppose que



avec mais bon là je m'avance certainement

mais sinon oui c'était bien ça Mathelot

[azf]

et si c'est ça alors on a bien la périodicité vu que



Le théorème de Moivre le stipule

[mathelot]

est elle une racine n-ième de l'unité ?

[azf]

normalement c'est la convention qu'on a avec la lettre omega

mais peut être que je m'avance (j'ai juste supposé en attendant qu'il vienne)

[mathelot]

Pour l'existence des C_i i=0,1,...,n-1 (et leur unicité)
on peut dire qu'elles sont solutions d'un système linéaire de n inconnues et n équations.



..

....


de déterminant non nul:

https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_de_Vandermonde

https://fr.wikipedia.org/wiki/Transform ... cr%C3%A8te

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

Il est raisonnable de penser que est une racine primitive -ème de l'unité.
Il est utile de se rappeler que si divise , et 0 si ne divise pas .

Les termes déterminent entièrement la suite périodique.
Pour trouver les on peut
- soit penser en termes d'un système linéaire de équations à inconnues,
- soit penser en termes de transformée de Fourier, grâce à la propriété rappelée ci-dessus.

[azf]

bah sinon comme je vois le bidule

on peut argumenter le fait que la famille des C_n est finie et comme les puissances d'omega sont périodiques bah du coup la suite est périodique mais ça fait pas propre comme démo mais bon l'idée du bidule quoi

[Alex0347]

Oui, désolé j’ai oublié de la rappeler mais oméga sont les racines de l’unité, notées comme e^i(2pi/n)

[Alex0347]

Je dois donc établir établir un système de n équations à n inconnues avec les termes de la suite, prendre les C_i où i va de 0 à n-1 comme racines de cette équation, et c’est tout ? Comme par magie mes C_i apparaissent comme solutions

[azf]

Je ne pense pas que ce soit la peine (je ne pense pas non plus que GaBuZoMeu vous demande de le faire non plus: il ne fait juste que dire comment avoir les termes mais nul part il ne dit qu'il faut les avoir pour démonter la périodicité)

J'ai donné une démo plus haut : elle tient en une ligne et sans calculs

[azf]

J'ai donné une démo plus haut : elle tient en une ligne et sans calculs

non c'est pas bon!

Mieux vaut calculer les termes comme le suggère GaBuZoMeu

Je ne suis plus du tout convaincu par ce que j'ai dit

[azf]

Donc là pour le coup (ma pseudo démo précédente est plus que merdique)

donc là bah du coup j'ai pensé certes vite fait car cette nuit j'ai pensé à des trucs mais pas vraiment des maths pardon mais des fois je pense à des trucs de mes coutumes (si vous voyez ce que je veux dire ) utiliser la matrice elle est diagonalisable et ses valeurs propres et multiplicités algébrique sont données ci-dessous donc sont facilement calculables même si la matrice est grande car là le degré du degré du polynôme caractéristique ne va pas nous gêner







valeurs propres de V

ses valeurs propres sont parmi



avec les multiplicités respectives



et bon après avec ça je pense qu'on peut l'utiliser dans le contexte de la question ici

[Alex0347]

Est-ce que le fait de dire que les C_i (i dans 0 à n-1) existent car ils sont solutions d’un système comme l’a dit GaBuZoMeu suffit ? Je ne vois pas le lien entre montrer une existence et avoir les valeurs propres et multiplicités respectives de matrices

[azf]

Est-ce que le fait de dire que les C_i (i dans 0 à n-1) existent car ils sont solutions d’un système comme l’a dit GaBuZoMeu suffit ? Je ne vois pas le lien entre montrer une existence et avoir les valeurs propres et multiplicités respectives de matrices

non pas de matrices mais de la matrice V

sinon il y a combien de coefficients C_i ? il y en a n de C_0 à Cn-1

vous avez là le vecteur colonne composée des C_i

un produit à faire avec une matrice (la matrice V) pour avoir un système d'équation linéaire

en plus un système de Kramer (donc une solution unique : le vecteur colonne que vous recherchez)

Moi comme je vois la chose il faut diagonaliser la matrice V et s'en servir mais j'avoue que pour l'instant je n'ai pas encore réfléchi au problème (j'ai juste lu GaBuZoMeu et j'essaye juste de voir en gros ce qu'il dit)

[azf]

de toute façon vous ne pouvez pas vous servir de la matrice V

il faut vous servir de la matrice diagonale de votre diagonalisation sinon vous n'aurez pas vos produits donnés dans votre premier post

mais c'est pas grave elle est simple à diagonaliser vu que vous avez tout ce qu'il faut

les valeurs propres et leurs multiplicités algébriques respectives

En ce qui me concerne je n'ai pas encore réfléchi à la question mais bon vu en gros comme ça c'est l'idée que je me fais du comment on doit s'y prendre mais maintenant si vous pensez que c'est pas bon ah bien j'avoue que j'ai rien fait donc il est fort probable que je me trompe (ça ne serait pas la première fois que je raconte des conneries sur des intuitions d'idées en gros du comment aborder un problème mais sans avoir commencé à le faire pour de bon mais je ne pensais pas que je devrai le faire en entier mais juste lancer une idée et voir si ça colle de près ou de loin avec celle des autres )

[GaBuZoMeu]

azf, tu crois vraiment aider le questionneur avec ton flot de messages plus ou moins pertinents (plutôt moins que plus, d'ailleurs) ?

Pour voir ce qu'il y a derrière cet exercice, on peut chercher dans wikipedia avec la requête "Transformation de Fourier discrète".