[MPSI] Suites-Cercles disjoints

[Anonyme]

Bonsoir,

Un exo de colle.
Montrer qu'on ne peut pas recouvrir le plan avec des cercles
disjoints.
Il faut utiliser les suites de Cauchy.

Quelques indications ? Merci beaucoup.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message de news:
XnF9449CE20E777Fmichel@193.252.19.141...
> Bonsoir,
>

Bonsoir

> Un exo de colle.
> Montrer qu'on ne peut pas recouvrir le plan avec des cercles
> disjoints.
> Il faut utiliser les suites de Cauchy.
>
> Quelques indications ? Merci beaucoup.
> --

Des cercles, des disques, le rayon nul correspond-il à un point (ça doit
être le cas), ou à l'ensemble vide ?
Parce que tu prends l'ensemble des cercles de centre (0,0) de rayon r pour r
parcourant R+, et ton plan est bien couvert par des cercles disjoints.

[Anonyme]

Michel a écrit :
> Un exo de colle.
> Montrer qu'on ne peut pas recouvrir le plan avec des cercles
> disjoints.
> Il faut utiliser les suites de Cauchy.
>
> Quelques indications ? Merci beaucoup.

Je te dirais d'essayer par l'absurde, en prenant un cercle. Ce cercle
possède un centre qui doit être recouvert par ton recouvrement. Tu
construits ainsi une suite de cercles et de centres, il doit y avoir
moyen d'en faire quelque chose.

--
Nico.

[Anonyme]

Bonsoir,

Julien Santini écrivait :

> Des cercles, des disques, le rayon nul correspond-il à un point
> (ça doit être le cas), ou à l'ensemble vide ?
> Parce que tu prends l'ensemble des cercles de centre (0,0) de
> rayon r pour r parcourant R+, et ton plan est bien couvert par
> des cercles disjoints.

Ben on ne prend pas cette définition de cercles alors.
Non mais quel râleur !

La question est posée telle quelle, graphiquement on a tous tendance
à penser comme toi, je ne vois d'ailleurs même pas comment
l'impossibilité est possible...


L'idée de Nicolas est la bonne, je pense avoir entendu ça.
(en fait c'était pas ma colle mais celle d'un ami).

On prend une suite complexe des centres, et on borne systématiquement
la distance entre ces centres... cette suite est de Cauchy. Dans C,
elle converge. Mais où est la contradiction ?

À plus tard.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel a écrit :
> On prend une suite complexe des centres, et on borne systématiquement
> la distance entre ces centres... cette suite est de Cauchy. Dans C,
> elle converge. Mais où est la contradiction ?

Cherche le cercle qui passe par le point de convergence.

--
Nico, "je cherche mais je ne trouve pas... le cercle qui m'va"

[Anonyme]

"Michel" a écrit dans le message de news:
XnF9449CE20E777Fmichel@193.252.19.141...
> Bonsoir,
>
> Un exo de colle.
> Montrer qu'on ne peut pas recouvrir le plan avec des cercles
> disjoints.
> Il faut utiliser les suites de Cauchy.
>
> Quelques indications ? Merci beaucoup.
> --
> Michel [overdose@alussinan.org]

Suppons qu'un tel recouvrement U est possible (donc chaque cercle est un
vrai cercle de rayon non nul)
..
***
Remarque :
On constate que deux cercles de U distincts sont disjoints donc soit
-l'un d'entre eux est inclu strictement dans l'autre
-soit l'un d'entre eux est inclu dans le complémentaire du disque de bord
l'autre cercle.
***
tu prends un point z(0) de C. Il se trouve sur un certain cercle
C_0(a(0),r(0)) du recouvrement U.
Soit z(1) un point situé dans le disque de centre a(0) et de rayon r(n)/2.
Ce point z(1) est situé sur un certain cercle C_1(a(1),r(1)).
En utilisant la remarque ci-dessus et en remarquant que z(1) est inclu dans
le disque de bord C_0(a(0),r(0)), tu en déduis que C_1(a(1),r(1)) est inclu
strictement dans C_0(a(0),r(0)). En particulier, abs(z(1)-z(0)) 0 quand
n-->+oo.
Il est immédiat que la suite (z(n)) est de Cauchy
(abs(z(n+p)-z(n))<=sum(k=0 à p-1, abs(z(n+k+1)-z(n+k))<=2*r(0)sum(k=0 à p-1,
(1/2)^(n+k)<=2*r(0)*(1/2)^n)
Elle converge vers un complexe Z.
Ce complexe Z est situé sur un certain cercle C(A,R) du recouvrement U.
Par construction, pour tout entier n, Z est situé à l'intérieur du cercle
C_n(a(n),r(n)), donc C(A,R) est inclu dans C_n(a(n),r(n)) pour tout entier n
(d'après la remarque). En particulier, R<=r(n) quel que soit n (un cercle
inclu dans un autre a nécessairement son rayon inférieur à l'autre cercle).
En passant à la limite, tu obtiens R=0 ce qui est absurde par hypothèse.