Bonjour,
Je révise mes TD de math mais je ne comprends pas la façon dont le prof a résolu le problème. Voici l'énoncé :
on considère les suites(un)n et (vn)n définies par la relation de récurrence suivante :
{u(n+1)=un+2vn
{v(n+1)=2un+vn
a) Montrer que l'espace de ces suites forment un R-espace vectoriel E de dimension 2, en donner une base.
Quelqu'un peut-il m'aider a résoudre cette question? Je n'arrive pas à comprendre comment travailler avec des suites. Je sais qu'il faut montrer que c'est stable par multiplication et par addition avec un scalaire mais comme c'est des suites et qu'il y a Un et Vn je ne comprends pas.
Merci d'avance.
Suites, applications linéaires et espace vectoriel
9 messages
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par Ben314 » 19 Oct 2010, 16:30
Salut,
Attention, ici, "l'espace des solutions", c'est pas des suites, mais des COUPLES de suites : ce que tes formules définissent, c'est DEUX suites.
Donc, pour montrer que c'est un espace vectoriel, ou, plus précisément un sous espace vectoriel de l'ensemble des couples de suites, il faut que tu montre que :
- Si le couple_{n\geq0},(v_n)_{n\geq 0}\big))
est une solution et que 
est un scalaire, alors le couple _{n\geq0},(\lambda v_n)_{n\geq 0}\big))
est aussi une solution.
- Si les couple_{n\geq0},(v1_n)_{n\geq 0}\big))
et _{n\geq0},(v2_n)_{n\geq 0}\big))
sont tout les deux des solutions, alors le couple _{n\geq0},(v1_n+v2_n)_{n\geq 0}\big))
est aussi une solution.
En fait, pour simplifier les notations (et les preuves), plutôt que de parler de couples de suites, il serait plus simple de parler de... suites de couples, c'est à dire considérer qu'une solution de ton truc, c'est une suite_{n\geq 0})
de vecteur colonnes : )
. Cela permet aussi d'écrire tes relations de récurence sous la forme 
où 
est une matrice 2x2
Attention, ici, "l'espace des solutions", c'est pas des suites, mais des COUPLES de suites : ce que tes formules définissent, c'est DEUX suites.
Donc, pour montrer que c'est un espace vectoriel, ou, plus précisément un sous espace vectoriel de l'ensemble des couples de suites, il faut que tu montre que :
- Si le couple
- Si les couple
En fait, pour simplifier les notations (et les preuves), plutôt que de parler de couples de suites, il serait plus simple de parler de... suites de couples, c'est à dire considérer qu'une solution de ton truc, c'est une suite
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius
par sarah79 » 19 Oct 2010, 16:36
Merci pour l'explication mais il faut trouver la matrice A ou c'est pas la peine? Si oui comment s'y prend t-on?
par Ben314 » 19 Oct 2010, 16:55
Pour montrer que c'est un espace vectoriel, tu n'as pas vraiment besoin de savoir ce qu'il y a dans la matrice A car c'est vrai quelque soit la matrice A.
Par contre, je ne pense pas que ce soit la seule question de l'exercice et pour la suite, ben va sans doute falloir préciser un peu qui est A...
Réfléchi un peu : pour trouver A, la seule chose à savoir, c'est combien vaut\left(\matrix{x\cr y}\right))
qui est le b-a-ba du calcul matriciel...
Par contre, je ne pense pas que ce soit la seule question de l'exercice et pour la suite, ben va sans doute falloir préciser un peu qui est A...
Réfléchi un peu : pour trouver A, la seule chose à savoir, c'est combien vaut
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