Suite (Séquence) et Convergence

[Tommy1991]

Bonjour,

il y a un petit temps je vous avais posé une question sur les limites. Malheureusement cela ne suffit pas et j'ai raté mon examen de math (45%) (toute les questions concernant les limites furent néanmoins correctes). Je reviens donc ici avec une nouvelle question sur les séquences (matière que je fut surpris de découvrir à l'examen étant donné que cela était mentionné nulle part comme étant à étudié).

J'aimerais donc savoir comment fonctionne les séquences, à quoi cela sert car cela ne se trouve pas dans mon cours. J'aimerais aussi des explications assez détaillé de la manière dont je peux résoudre un exercice comme celui-ci en considérant que pour le moment je ne connais les séquences que de par leur nom.

Prouve que la séquence Xn définit comme suit :



- est décroissante monotone (traduit de l'anglais)
- borné par la bas (idem)
- Xn est convergent ? Si oui trouve en la limite

Pour moi tout cela est un grand charabia étant donné que j'ai raté près de 50 % des cours du à une maladie. Donc si vous pouviez éclaire ma lanternes pour que je puisse enfin réussir ce magnifique examen.

Merci d'avance.

Cordialement Tommy1991


ps : Les séquences ont-elles un rapport avec les séries ?

[Epsilon]

a sequence (anglais)= une suite (français)
une série est une somme infinie de d'lements d'une suite
ceci est un cours récapitulatif sur les suites
la bonne traduction de ta deuxième question est : prouver que le suite xn est borné inférieurement.

[Tommy1991]

Merci beaucoup je vais lire cela attentivement :)

[Tommy1991]

Alors avec le lien que tu as donné (très très bien foutu) j'ai réussi à faire la première question (je crois), je suis certain des calculs mais pas de la conclusion. J'en tire que D0 = -4 < 0 et donc que Xn est strictement décroissante. Est-ce que je dois donc dire que la fonction est décroissante monotone ou je dois dire qu'elle ne l'est pas ? :doh:

Pour le reste je continue et posterais après.

Merci de ton aide.

Cordialement Tommy1991

[Tommy1991]

Alors j'ai cru lire ici que tout suite décroissante positive est convergente (je pense que c'est la cas mais je sais pas si ma suite est positive ...) et tout suite convergente est borné (je pense qu'une suite décroissante ne peut etre que borné inférieurement donc oui)

Encore une fois ce ne sont que des suppositions je comprends pas bien comment déterminé la convergence / borne et encore moins calculé une limite de la suite.

Si vous pouviez me donner un petit exemple.

Merci d'avance.

Cordialement Tommu1991

[SlowBrain]

Toute suite minorée (positive = minorée par 0) et décroissante converge. L'idée est que l'on peut chercher un minorant de la suite le plus grand possible, et celui-ci sera la limite.

Toute suite convergente est bornée car par définition de la limite, après un certain rang on ne s'en éloigne plus d'une distance arbitraire. Comme les termes précédents en quantité finie ne peuvent être éparpillés sur un voisinage infini, alors la suite est bornée.

Si cela peut aider ton intuition...

[Tommy1991]

C'est sans doute censer m'aider mais je comprends pas plus que ca t'es phrases, serait-il possible de l'illustrer avec un exemple ?

Comment déterminer si une suite est positive ou négative ?

[Tommy1991]

Je vais upper ce topic une dernière fois car j'ai quand même examen demain =S Mais si je n'ai pas de réponses je ferais avec ce que j'ai déjà.

Merci de votre aide.

Cordialement Tommy1991

[Ben314]

...tout suite décroissante positive est convergente...

C'est vrai, un peu plus généralement, toute suite décroissante et minorée est convergente. C'est un résultat essentiel sur les suites réelles. (de même, toute suite croissante et majorée est convergente)

...tout suite convergente est borné...

Vrai aussi (mais un tout petit peu moins important..)

...une suite décroissante ne peut etre que borné inférieurement...

Faux, la suite (-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,...) est décroissante mais pas bornée.

[Ben314]

Pour avoir un exemple... prenons ton exercice.

Dans tout ces exercices assez simples, je te conseillerais, même si ce n'est pas demandé, de calculer les premiers termes, pour avoir une idée et éviter d'écrire de grosses bètises :





1) il faut montrer que c'est à dire que pour tout , on a .
Cela revient à montrer que c'est à dire que et donc que .
On va montrer cela par récurrence sur n :
Pour , on a bien .
Supposons que, pour un donné, on ait bien (hypothèse de récurrence).
On a alors donc et cela achève la preuve.
On a donc montré que pour tout et que
(ce qui répond à deux questions pour le prix d'une et semble montrer que ce n'était pas la méthode attendue par le correcteur, mais ce n'est pas grave).

On vient de voir que la suite est décroissante et minorée (par 5) donc [théorème] elle est convergente vers une limite .
Or, si tend vers alors tend aussi vers (résultat dont on se sert trés souvent pour les suites récurrentes) donc :

On en déduit que et donc que

[Tommy1991]

Merci beaucoup pour tes explications, c'est très claire.

Sinon pour la suite décroissante ne peut être que borné inférieurement => je voulais dire qu'une suite décroissante ne peut pas être borné supérieurement (fin je sais pas si c'est correcte)

[Ben314]

Sinon pour la suite décroissante ne peut être que borné inférieurement => je voulais dire qu'une suite décroissante ne peut pas être borné supérieurement (fin je sais pas si c'est correcte)

Ben... non, ce n'est pas correct : si la suite est décroissante, on a elle est donc "bornée supérieurement" (en général on dit majorée) par... (les termes de la suite sont tous plus petit que )

Dans l'autre sens, une suite décroissante peut être ou ne pas être minorée.