Suite de réels

[capitaine nuggets]

Moi j'avais pensé faire :
m+(1/2).Un-1 < Un< M +(1/2).Un-1

Mais après comment rendre l'inégalité indépendante de n ?

Ben réexprimer en fonction de etc... pour aboutir à , mais cela revient à faire ce que j't'ai dit de faire.

[Maths-ForumR]

Donc Un-1 on le remplace par le somme des 2^k ak ?

[capitaine nuggets]

Donc Un-1 on le remplace par le somme des 2^k ak ?

J'ai du mal à te suivre...

Regarde, on a .

Si on suppose bornée alors quel que soit compris entre et , et donc on a l'encadrement .
Donc en faisant la somme pour k=0 jusqu'à n, on a alors .

Les sommes et étant des sommes de termes de suites géométriques, tu peux les calculer.
Tu pourras conclure en minorant la première somme et en majorant la seconde :+++:

[Maths-ForumR]

Très bien je continuerai demain pcq je suis plus en état ce soir.. :)

[capitaine nuggets]

Très bien je continuerai demain pcq je suis plus en état ce soir..

Juste pour la 3a. Peut on dire que (Un) est la somme de terme dépendant de (an) donc si (Un) converge alors (an) aussi. ?
Ou faut il le faire par calcul ?

Et pouvez vous me donner une piste pour la 3b. Comme ça je peux y réfléchir demain matin ?

Pareil, je commence à fatiguer aussi (pis chui' malade...)

Nam nam, pour la 3)a) va falloir dire un peu plus convaincant que cela.
On vient de montrer dans la question 2) que est bornée ssi est bornée, donc on peut montrer que si est croissante (resp décroissante) alors l'est aussi.
En effet, toute suite croissante et majorée (resp décroissante et minorée) converge.

La 3)b) est plus simple. Supposons que converge vers un réel , alors en utilisant la définition de récurrence de donnée par l'énoncé, tu peux en déduire la limite de :+++:

[Ben314]

... donc on peut montrer que si est croissante (resp décroissante) alors l'est aussi.
En effet, toute suite croissante et majorée (resp décroissante et minorée) converge.

Oui, mais ça ne permet pas de conclure dans le cas général vu qu'une suite peut très bien être convergente sans être ni croissante, ni décroissante.
Ca me semble plus simple (et plus bête) de partir de a la fois pour la 3)a) et la 3)b)...

En fait, la réciproque de cette question 3) me semble elle aussi vraie (i.e. (an) C.V. => (un) C.V.), mais c'est un peu plus délicat à démontrer (et si ça marche, c'est en "coupant du epsilon en rondelles")

[Maths-ForumR]

Donc pour revenir a :

La question 2 :
On peut minorer la suite géométrique par 0.
Par contre pour la majorer j'ai un problème, j'ai transformé l’écriture en :
[(1/2^(-k)] ^n . M mais quoi faire après pcq la valeur de la raison varie ?

La question 3)a
Apart dire que (an) est la somme de terme dépendant de (un) donc si (Un) converge alors (an) aussi. (ce qui n'est pas suffisant) je ne vois pas quoi faire même avec la relation.

[capitaine nuggets]

Salut !

Donc pour revenir a :

La question 2 :
On peut minorer la suite géométrique par 0.
Par contre pour la majorer j'ai un problème, j'ai transformé l’écriture en :
[(1/2^(-k)] ^n . M mais quoi faire après pcq la valeur de la raison varie ?

La question 3)a
Apart dire que (an) est la somme de terme dépendant de (un) donc si (Un) converge alors (an) aussi. (ce qui n'est pas suffisant) je ne vois pas quoi faire même avec la relation.

ça ne permet pas de conclure dans le cas général vu qu'une suite peut très bien être convergente sans être ni croissante, ni décroissante.
Ca me semble plus simple (et plus bête) de partir de (...) pour la 3)a) et la 3)b)...

Ben314 n'a pas tort (je pensais qu'il fallait utiliser la question précédente...).

La question 3)b :
Soit (Un) converge vers l
D'après la relation de récurrence : l = (l-1)/2 + an

Perso, j'aurais traité les deux questions en une réponse parce que je vois pas trop ce qu'on attend de nous :

peut s'exprimer comme une différence des termes et donc si converge, alors converge aussi.

Par contre, tu ne dis pas quelle relation y a-t-il entre la limite de et la limite de .

[Maths-ForumR]

La question 4) Dans cette question on suppose (an) géométrique de raison q

4)a. Calculer Un en fonction de a0, n et q
Un=U0 . q^n

[capitaine nuggets]

La question 3)b :
Soit (Un) converge vers l
D'après la relation de récurrence : l = (l-1)/2 + an

:hum: C'est faux !
Si converge vers alors la suite "décalée d'un rang" converge aussi vers .

4)a. Calculer Un en fonction de a0, n et q
Un=U0 . q^n
Un=A0 . q^n (cela suffit ou il faut calculer A0 ?)

On n'a aucun moyen de connaître :++:

[Maths-ForumR]

Pour 4)a. Merci :)

[capitaine nuggets]

La question 4) Dans cette question on suppose (an) géométrique de raison q

4)a. Calculer Un en fonction de a0, n et q
Un=U0 . q^n
Un=A0 . q^n (cela suffit ou il faut calculer A0 ?)

Là je pense que tu t'emmêles les pinceaux :
est géométrique donc mais :+++:

[Maths-ForumR]

Pardon mais je suis perdu.

1) La question 3)b est -elle juste ?
Soit L la limite de (Un)
Limite de (An) =1/2 . L

2) la question 4)a. :
Il faut remplacer ak dans la somme par a0q^k ?

[capitaine nuggets]

Pardon mais je suis perdu.

1) La question 3)b est -elle juste ?
Soit L la limite de (Un)
Limite de (An) =1/2 . L

2) la question 4)a. :
Il faut remplacer ak dans la somme par a0q^n ?

Oui et non : doit-être remplacer par .

[Maths-ForumR]

Très bien mais une fois ak remplacé comment peut on calculer Un ?

4)b. Déterminer la nature de la suite (Un) en discutant selon les valeur de q
Si :
|q|<1 (Un) converge vers 0
q=1 (Un) est constante et converge vers U0=A0
q=-1 (Un) est bornée et diverge
q>1 (Un) divergente
q< -1 (un) divergente

La question 5) Dans cette question on suppose Pour tout n>=0, an=n+1 et on definie la suite v par Vn=Un-(1/2)^n

5)a. Montrer que (Vn) est arithmétique, déduire une expression explicite de Un.
(Indication : Calculer Vo et V1 puis démonter par récurrence une formule pour la valeur de Vn).
J'ai calculer :
V0=U0-(1/2)°
V0=A0-1 = 1-1 donc V0=0

V1=U0-(1/2)
V1=A0-(1/2) = 2-(1/2) donc V0=3/2
Mais après je bloque, la formule de récurrence est -elle : Vn+1=Vn+3/2 ?

[capitaine nuggets]

Très bien mais une fois ak remplacé comment peut on calculer Un ?

4)b. Déterminer la nature de la suite (Un) en discutant selon les valeur de q
Si :
|q|1 (Un) divergente
q=0, an=n+1 et on definie la suite v par Vn=Un-(1/2)^n

5)a. Montrer que (Vn) est arithmétique, déduire une expression explicite de Un.
(Indication : Calculer Vo et V1 puis démonter par récurrence une formule pour la valeur de Vn).
J'ai calculer :
V0=U0-(1/2)°
V0=A0-1 = 1-1 donc V0=0

V1=U0-(1/2)
V1=A0-(1/2) = 2-(1/2) donc V0=3/2
Mais après je bloque, la formule de récurrence est -elle : Vn+1=Vn+3/2 ?

4°) Ben est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique donc on peut calculer la calculer.
Ce que tu as fait après sur l'étude de la convergence de suivant est également faux, tu change d'hypothèses : on suppose , certainement pas :hum:
Une remarque, est une suite de réels strictement positifs donc .

Je ne comprends pas bien ce que tu as écrit pour la 5°)...

[Maths-ForumR]

4°) Ben est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique donc on peut calculer la calculer.
Ce que tu as fait après sur l'étude de la convergence de suivant est également faux, tu change d'hypothèses : on suppose , certainement pas :hum:
Une remarque, est une suite de réels strictement positifs donc .

Je ne comprends pas bien ce que tu as écrit pour la 5°)...

Je n'y arrive vraiment pas..
Pour la 5) j'ai calculer v0 et v1 en suivant l'indication .

[capitaine nuggets]

Pour la 4)

Etant donné une suite géométrique de premier terme et de raison , quelle est la formule qui te donne ?

[Maths-ForumR]

C'est la formule : (1-r^(n+1))/(1-r)

[capitaine nuggets]

Ok.

Ben là, c'est pareil en justifiant que est bien la somme de termes consécutifs d'une certaines suite que l'on précisera, de premier terme et de raison , on a